Esercizio Connessione

[squalllionheart]

Siano due aperti $X_1$ e $X_2$ aperti di uno spazio topologico $X$. Dimostrare che se $X_1nnX_2$ e $X_1uuX_2$ sono connessi, allora $X_1$ e $X_2$ sono connessi.
(Suggerimento si usi il fatto che una funzione definita su uno spazio topologico è connesso se e solo se e solo se ogni funzione a valori discreti è continua).
Sono quasi certamente sicura che ho sbagliato il ragionamento correggetemi
Allora se f continua da $X$ in $D$ dove $D$ è uno spazio discreto allora l'immagine di un connesso è connesso ma gli unici insiemi connessi sono i punti. Supponendo che $X_1$ e $X_2$ nn siano connessi allora l'immagine non sarà un connesso dunque poichè $f$ continua
${b}=f(X_1uuX_2)\supf(X_1)uuf(X_2)={a,b}U{c,b}$
ma ciò è assurdo
Quindi $f$ necessariamente deve essere costante,ma se $f$ costante allora $X$ è connesso quindi sia $X_1$ e $X_2$ connessi.
Grazie in anticipo

[vict85]

Cominciamo con il considerare $X_1capX_2$ siccome $X_1cupX_2$ è connesso allora $X_1capX_2$ è non vuoto oppure è vuoto uno dei due insiemi. Se uno dei due insiemi è vuoto allora l'unione dei due è il secondo insieme che è quindi connesso.

Quindi consideriamo l'intersezione non vuota.

Se, per assurdo, $X_1$ non fosse connesso allora esisterebbero due aperti $A_1$ e $B_1$ disgiunti, la cui unione è $X_1$. $X_1capX_2$ è connesso e quindi è interalmente contenuto in uno dei due aperti, supponiamo che sia $A_1$ allora $(A_1cupX_2)$ e $B_1$ sarebbero due aperti disgiunti la cui unione è $X_1cupX_2$ che però è connesso e quindi l'assurdo. Similmente per $X_2$.

Sulla tua dimostrazione ci devo ragionare un po'...

[squalllionheart]

sarà l'ora ma non ti seguo, non ho capito come sfrutti l'intersezione...per sfruttare il fatto che una funzione definita su uno spazio topologico è connesso se e solo se e solo se ogni funzione a valori discreti è continua, come faresti?