Esercizio coniche
Buongiorno a tutti!
Non riesco a capire come impostare la risoluzione di questo esercizio:
Nel piano affine eulideo S2 sono dati questi due fasci di coniche C1: xy-k=0 e C2: x$^2+ky$2-1=0 con k reale.
Individuare punti base e coniche degeneri dei fasci, classificarle al variare di k, determinarne gli elementi principali ( eventuali centri, assi ).
Dette rispettivamente p1 la polare di A(1,-2) rispetto a C1, e p2 la polare di B(1,1) rispetto a C2, trovare e studiare il luogo L dei punti di intersezione di p1 e p2 al variare del parametro k in R.
Grazie mille!
Non riesco a capire come impostare la risoluzione di questo esercizio:
Nel piano affine eulideo S2 sono dati questi due fasci di coniche C1: xy-k=0 e C2: x$^2+ky$2-1=0 con k reale.
Individuare punti base e coniche degeneri dei fasci, classificarle al variare di k, determinarne gli elementi principali ( eventuali centri, assi ).
Dette rispettivamente p1 la polare di A(1,-2) rispetto a C1, e p2 la polare di B(1,1) rispetto a C2, trovare e studiare il luogo L dei punti di intersezione di p1 e p2 al variare del parametro k in R.
Grazie mille!
Risposte
...Il secondo fascio C2 ha questa equazione: x^2+ky^2=1
"Matefan":
Buongiorno a tutti!
Non riesco a capire come impostare la risoluzione di questo esercizio:
Nel piano affine eulideo S2 sono dati questi due fasci di coniche C1: xy-k=0 e C2: x$^2+ky$2-1=0 con k reale.
Individuare punti base e coniche degeneri dei fasci, classificarle al variare di k, determinarne gli elementi principali ( eventuali centri, assi ).
Dette rispettivamente p1 la polare di A(1,-2) rispetto a C1, e p2 la polare di B(1,1) rispetto a C2, trovare e studiare il luogo L dei punti di intersezione di p1 e p2 al variare del parametro k in R.
Grazie mille!
Per le polari non ci sono particolari problemi.
La curva $xy-k=0$ può essere scritta anche come $2xy-2k=0$
ed ha matrice associata:
$((0,1,0),(1,0,0),(0,0,-2k))$
la polare di $A=(1,-2)$ rispetto alla conica è
$((x,y,1)) ((0,1,0),(1,0,0),(0,0,-2k)) ((1),(-2),(1)) = 0$
ovvero
$-2x+y-2k=0$.
Per quanto riguarda l'altra conica $x^2+ky^2-1=0$ la matrice associata risulta
$((1,0,0),(0,k,0),(0,0,-1))$
la polare di $B=(1,1)$ rispetto alla conica è
$((x,y,1)) ((1,0,0),(0,k,0),(0,0,-1)) ((1),(1),(1)) = 0$
ovvero
$x+ky-1=0$.
A questo punto basta fare il sistema e trovare la soluzione in funzione di $k$.
Ti torna il procedimento?
"franced":
A questo punto basta fare il sistema e trovare la soluzione in funzione di $k$.
Ho fatto i calcoli e ho trovato
$\{ (x=(1-2k^2)/(1+2k)) ,(),(),(), (y=2 (k+1)/(1+2k)) :}$
"franced":
[quote="franced"]
A questo punto basta fare il sistema e trovare la soluzione in funzione di $k$.
Ho fatto i calcoli e ho trovato
$\{ (x=(1-2k^2)/(1+2k)) ,(),(),(), (y=2 (k+1)/(1+2k)) :}$[/quote]
Ricavando $k$ dall'equazione della $y$ e sostituendo nell'altra otteniamo
la curva (ad occhio è un'iperbole)
$y^2 -2xy +2x -2 = 0$
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