Esercizio con spazio vettoriale
Salve a tutti, stavo facendo un esercizio sugli spazi vettoriali e non avendo i risultati, poiché è una tipologia che non avevo mai trovato, volevo sapere se il mio ragionamento è esatto.
Mi si chiede di considerare il sottospazio vettoriale
H={(a,b,a+b,b) con a e b reali}
Provare che B={(3,-2,1,2),(1,0,1,0)} è una base di H.
Io per prima cosa ho trovato una base C di H
C={(1,0,1,0),(0,1,1,1)}
Dopo di che ho calcolato il rango della matrice relativa a C e ho visto che è uguale a 2, dopodiché ho trovato il rango della matrice associata a B che è uguale a 2 .
Quindi poiché hanno lo stesso rango B è una base per H.
Il mio ragionamento è esatto oppure ho sbagliato?
Inoltre volevo chiedervi un'altra cosa. Se mi danno 2 spazi vettoriali e mi si chiede di trovare la somma e l'intersezione tra di essi, come dovrei fare? Io per la somma credo che si debbano unire le rispettive basi, ma per quanto riguarda l'intersezione, cosa dovrei fare?
Grazie a tutti
Mi si chiede di considerare il sottospazio vettoriale
H={(a,b,a+b,b) con a e b reali}
Provare che B={(3,-2,1,2),(1,0,1,0)} è una base di H.
Io per prima cosa ho trovato una base C di H
C={(1,0,1,0),(0,1,1,1)}
Dopo di che ho calcolato il rango della matrice relativa a C e ho visto che è uguale a 2, dopodiché ho trovato il rango della matrice associata a B che è uguale a 2 .
Quindi poiché hanno lo stesso rango B è una base per H.
Il mio ragionamento è esatto oppure ho sbagliato?
Inoltre volevo chiedervi un'altra cosa. Se mi danno 2 spazi vettoriali e mi si chiede di trovare la somma e l'intersezione tra di essi, come dovrei fare? Io per la somma credo che si debbano unire le rispettive basi, ma per quanto riguarda l'intersezione, cosa dovrei fare?
Grazie a tutti
Risposte
Come hai verificato tramite il rango $H$ è uno spazio vettoriale di dimensione $2$. $B$ è formata da due vettori linearmente indipendenti $=>$ $B$ è una base per $H$.
Primo: se possibile utilizza la formula di Grassman.
Secondo: se abbiamo due spazi vettoriale $U$, $V$, ciascuno dotato di una base, e ci chiediamo chi sono i vettori dell'intersezione, possiamo ragionare così:
Prendiamo un $w in U cap V$.
Per definizione, sta sia in $U$ che in $V$. Quindi possiamo scrivere $w$ come combinazione lineare dei vettori della base $U$: $w=a_1u_1+...+a_n u_n$.
Ma anche $w=b_1v_1+...+b_nv_m$.
Uguagli queste due espressioni e trovi i coefficienti opportuni di un vettore che sta nell'intersezione
"Silver101":
Inoltre volevo chiedervi un'altra cosa. Se mi danno 2 spazi vettoriali e mi si chiede di trovare la somma e l'intersezione tra di essi, come dovrei fare? Io per la somma credo che si debbano unire le rispettive basi, ma per quanto riguarda l'intersezione, cosa dovrei fare?
Primo: se possibile utilizza la formula di Grassman.
Secondo: se abbiamo due spazi vettoriale $U$, $V$, ciascuno dotato di una base, e ci chiediamo chi sono i vettori dell'intersezione, possiamo ragionare così:
Prendiamo un $w in U cap V$.
Per definizione, sta sia in $U$ che in $V$. Quindi possiamo scrivere $w$ come combinazione lineare dei vettori della base $U$: $w=a_1u_1+...+a_n u_n$.
Ma anche $w=b_1v_1+...+b_nv_m$.
Uguagli queste due espressioni e trovi i coefficienti opportuni di un vettore che sta nell'intersezione
Quindi se ho capito bene, alla fine, dopo aver eguagliato le 2 espressioni, dovrei trovarmi i coefficienti che hai indicato a,b e dopo di che sostituirli dell'espressione iniziale, trovandomi così l'unione Delle basi dei 2 spazi vettoriali con determinati coefficienti ?
Non l'unione, ma l'intersezione
"feddy":cosí dicendo é si e no, nel senso che a mo di rigore \(H\) é sottospazio vettoriale di \(\Bbb{R}^4\) di dimensione \(2\) (ovvero anche spazio vettoriale rispetto alle restrizioni delle operazioni di \(\Bbb{R}^4\) in \(H\) ), se prendo ogni altro sistema di due vettori linearmente indipendenti di \(H\) allora questo é base per \(H\), quindi io verificherei che gli elementi della base \(B\) sono generati dai generatori di \(H\)...
Come hai verificato tramite il rango $H$ è uno spazio vettoriale di dimensione $2$. $B$ è formata da due vettori linearmente indipendenti $=>$ $B$ è una base per $H$.
Grazie @garnak.olegovitc per la correzzione 
"feddy":
Secondo: se abbiamo due spazi vettoriale $U$, $V$, ciascuno dotato di una base, e ci chiediamo chi sono i vettori dell'intersezione, possiamo ragionare così:
Prendiamo un $w in U cap V$.
Per definizione, sta sia in $U$ che in $V$. Quindi possiamo scrivere $w$ come combinazione lineare dei vettori della base $U$: $w=a_1u_1+...+a_n u_n$.
Ma anche $w=b_1v_1+...+b_nv_m$.
Uguagli queste due espressioni e trovi i coefficienti opportuni di un vettore che sta nell'intersezione
non so risolvere le equazioni
per esempio
$x(1,0,0)=y1(1,1,0)+y2(0,1,1)$
Ciao,
$ x(1,0,0)-y1(1,1,0)+y2(0,1,1)=0 <=> x(1,0,0)-y1(1,1,0)+y2(0,1,1)=0$.
P.S.: Non scrivere su topic vecchi.
$ x(1,0,0)-y1(1,1,0)+y2(0,1,1)=0 <=> x(1,0,0)-y1(1,1,0)+y2(0,1,1)=0$.
P.S.: Non scrivere su topic vecchi.
non ho capito
Devi trovare i coefficienti $x,y_1,y_2$ della combinazione
ma non hai saltato un meno?
Ops sì, ma cambia poco. Era solo per rendere l'idea che quell'uguaglianza puoi riscriverla in quel modo e risolvere quel sistemino lineare.
Ok, grazie. Ti farò sapere forse quando arriverò alle equazioni lineari
buono studio
@Lavinia Volpe, puoi anche senza sistemi lineri... basta pensarci un pochino, in fin dei conti hai le semplici operazioni, somma e prodotto con scalare, tra \(3\)-uple, puoi procedere per sostituzione facendo attenzione a verificare adeguatamente...
@feddy,[ot]
@feddy,[ot]
"feddy":scusami ma la distanza é di pochi mesi, inoltre ha a che fare con il topic e con una tua risposta (il necroposting é scampato..)[/ot]
P.S.: Non scrivere su topic vecchi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo