Esercizio con spazi metrici e applicazioni

[valerio19961]

Sia (X,d) uno spazio metrico ed y ∈ X. dimostrare che l 'applicazione f: X → R , definita da f(x) = d(x,y) è continua.

come posso dimostrarlo???

[Bremen000]

Dobbiamo dimostrare che:

$$
\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
$$

equivalentemente
$$
\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta >0 : 0 $$

(dove su $X$ uso la metrica $d$ e su $\mathbb{R}$ uso la metrica euclidea)

ovvero
$$
\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta >0 : 0 $$

Ora, essendo $d$ una metrica, dalla disuguaglianza triangolare, sappiamo che:
$$
d(x,y) < d(x,x_0)+d(x_0,y) \quad \Rightarrow \quad d(x,y)-d(x_0,y) < d(x,x_0)
$$

e dunque ponendo $\delta = \epsilon $ otteniamo la definizione.

Non so tuttavia se questo esercizio possa essere definito di algebra lineare!