Esercizio con prodotto scalare non standard
Devo risolvere un esercizio il cui testo è:
7. Sia dato lo spazio euclideo $RR^3$ con il prodotto scalare:
$ g(x, y) = 2x1 y1 + 2x2 y2 + x3 y3$
a) Verificare che g e’ definito positivo
b) Trovare l’angolo tra i vettori $e2 − e3$ e $e1 + e2 − e3$ .
c) Trovare una base ortonormale del sottospazio generato da tali vettori.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
a) Dunque per verificare che g è def. pos., verifico semplicemente che gli autovalori della matrice $((2,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ sono positivi, che è vero poichè il polinomio della funzione è $(2-x)(2-x)(1-x)$.
Per gli altri due punti ho però dei dubbi.
b) Per trovare l'angolo dovrei utilizzare la formula $((v1,v2))/{||v1||||v2||}$, ma invece che utilizzare il prodotto scalare std, uso il prodotto g che mi dà l'esercizio.
Il mio dubbio è se debba utilizzare il prodotto g anche per calcolare la norma dei vettori, infatti per trovare la norma devo fare la radice del prodotto: $||v1||=sqrt{(v1,v1)}$
c) Per trovare la base ortonormale devo usare il metodo di Gram Schmidt, ma anche in questo caso, quando faccio il prodotto tra vettori, devo utilizzare il prodotto g oppure basta usare il pr. sc. std?
Grazie a chi risponderà
7. Sia dato lo spazio euclideo $RR^3$ con il prodotto scalare:
$ g(x, y) = 2x1 y1 + 2x2 y2 + x3 y3$
a) Verificare che g e’ definito positivo
b) Trovare l’angolo tra i vettori $e2 − e3$ e $e1 + e2 − e3$ .
c) Trovare una base ortonormale del sottospazio generato da tali vettori.
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a) Dunque per verificare che g è def. pos., verifico semplicemente che gli autovalori della matrice $((2,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ sono positivi, che è vero poichè il polinomio della funzione è $(2-x)(2-x)(1-x)$.
Per gli altri due punti ho però dei dubbi.
b) Per trovare l'angolo dovrei utilizzare la formula $((v1,v2))/{||v1||||v2||}$, ma invece che utilizzare il prodotto scalare std, uso il prodotto g che mi dà l'esercizio.
Il mio dubbio è se debba utilizzare il prodotto g anche per calcolare la norma dei vettori, infatti per trovare la norma devo fare la radice del prodotto: $||v1||=sqrt{(v1,v1)}$
c) Per trovare la base ortonormale devo usare il metodo di Gram Schmidt, ma anche in questo caso, quando faccio il prodotto tra vettori, devo utilizzare il prodotto g oppure basta usare il pr. sc. std?
Grazie a chi risponderà
Risposte
per quanto riguarda il punto B devi utilizzare il prodotto g anche per le norme.
lo stesso vale per trovare la base ortonormale, devi sempre utilizzare il prodotto g.
lo stesso vale per trovare la base ortonormale, devi sempre utilizzare il prodotto g.
ricordati che con quella formula nn trovi l'angolo, ma il suo coseno.
Ho un'altra domanda sempre sui pr. sc. non standard.
Un'altro esercizio che sto svolgendo dice:
Sia $g(X, Y ) =^tXGY $ con $ G = ((4,1),(1,1)) $ e $X, Y ∈ RR^2$
Verificare se $A=((0,1),(1,0))$ è un'isometria per $(RR^2 , G)$
Dunque la matrice A è composta da vettori ortonormali, ma non avendo un pr. sc. std, è sufficiente per dire che si tratta di una isometria?
Io in ogni caso ho fatto la prova su due vettori a caso e ho visto che si tratta di un'isometria, ma qual è un metodo più generale per risolvere l'esercizio?
Grazie ancora e grazie ad AleAnt per le risposte precedenti
Un'altro esercizio che sto svolgendo dice:
Sia $g(X, Y ) =^tXGY $ con $ G = ((4,1),(1,1)) $ e $X, Y ∈ RR^2$
Verificare se $A=((0,1),(1,0))$ è un'isometria per $(RR^2 , G)$
Dunque la matrice A è composta da vettori ortonormali, ma non avendo un pr. sc. std, è sufficiente per dire che si tratta di una isometria?
Io in ogni caso ho fatto la prova su due vettori a caso e ho visto che si tratta di un'isometria, ma qual è un metodo più generale per risolvere l'esercizio?
Grazie ancora e grazie ad AleAnt per le risposte precedenti
"Venom":
Dunque la matrice A è composta da vettori ortonormali...
Vettori ortonormali rispetto a quale prodotto scalare? Se intendi rispetto a quello "standard", allora non significa nulla visto che stai cercando un'isometria di $(RR^2, g)$ in sé stesso. Inoltre, visto che non stiamo usando le basi canoniche, dovresti specificare: quella matrice definisce un'applicazione lineare, ma rispetto a quali basi?
"dissonance":
[quote="Venom"]
Dunque la matrice A è composta da vettori ortonormali...
Vettori ortonormali rispetto a quale prodotto scalare? Se intendi rispetto a quello "standard", allora non significa nulla visto che stai cercando un'isometria di $(RR^2, g)$ in sé stesso. Inoltre, visto che non stiamo usando le basi canoniche, dovresti specificare: quella matrice definisce un'applicazione lineare, ma rispetto a quali basi?[/quote]
Il mio problema è proprio che non so dimostrare che un'applicazione è un'isometria quando il prodotto non è uno scalare standard.
Le basi non vengono fornite dall'esercizio, anche se il punto precedente chiedeva proprio di trovare una base ortonormale per g.
Allora sicuramente l'esercizio funziona così:
il prodotto scalare da usare (chiamiamolo $<,>$) è definito da $\=^txGy$, il che ha senso essendo G definita positiva. Ora dobbiamo fare due cose:
- verificare se l'applicazione $v|->Av$ è un'isometria di $RR^2$ con $<,>$;
- trovare una base ortonormale di $RR^2$ rispetto a $<,>$.
Tu dici: A definisce un'isometria $\iff$ le sue colonne sono una base ortonormale.
Il teorema "vero" però è:
un operatore lineare è unitario (definisce un'isometria) $\iff$ trasforma una base ortonormale in una base ortonormale.
Quindi il criterio di vedere se le colonne sono ortonormali va bene se sai a priori che la matrice si riferisce ad un operatore lineare rispetto ad una base ortonormale. La base canonica è ortonormale rispetto al prodotto scalare standard, ed è per questo che ti confondi. Infatti rispetto a $<,>$ la base canonica non è ortonomale:
$<(1,0),(0,1)>\=1!=0$ (non è nemmeno ortogonale).
Allora la prima cosa da fare è trovare una base ortonormale per $<,>$, che si fa con lo stesso procedimento usato per diagonalizzare una forma quadratica, oppure con l'algoritmo di Gram-Schmidt (che è più leggero come conti).
Un modo è: $<(0,1),(0,1)>\=1$, quindi prendiamolo come vettore iniziale; poi (Gram-Schmidt) sottraiamo da $(1,0)$ la sua proiezione ortogonale nell direzione di $(0,1)$, otteniamo: $(1,0)-(1,0)G((0),(1))=(1,-1)$. Quindi ${(0,1), (1,-1)}$ è una base ortogonale, $b={(0,1),(sqrt(3)/3, -sqrt(3)/3)}$ è ortonormale. Adesso scriviamo la matrice dell'applicazone definita da $A$ rispetto a questa base :
$Ab_1=((1),(0))=b_1+3/sqrt(3)b_2$; $Ab_2=((-sqrt(3)/3),(sqrt(3)/3))=-b_2$.
La matrice che cerchiamo è $((1,0),(sqrt(3), -1))$. Adesso possiamo vedere se questa matrice è ortogonale, e non lo è, quindi: o io ho sbagliato i conti (probabile), oppure $v|->Av$ non è un'isometria.
Naturalmente c'erano altri modi, secondo me più veloci, di fare questo esercizio. Io per esempio applicherei direttamente la definizione, e andrei a verificare se $\forall v,w\inRR^2$, $\=$. Ho scritto tutta questa cosa per spiegare meglio cosa intendevo dire prima! Spero di esserci riuscito! ciao.
il prodotto scalare da usare (chiamiamolo $<,>$) è definito da $
- verificare se l'applicazione $v|->Av$ è un'isometria di $RR^2$ con $<,>$;
- trovare una base ortonormale di $RR^2$ rispetto a $<,>$.
Tu dici: A definisce un'isometria $\iff$ le sue colonne sono una base ortonormale.
Il teorema "vero" però è:
un operatore lineare è unitario (definisce un'isometria) $\iff$ trasforma una base ortonormale in una base ortonormale.
Quindi il criterio di vedere se le colonne sono ortonormali va bene se sai a priori che la matrice si riferisce ad un operatore lineare rispetto ad una base ortonormale. La base canonica è ortonormale rispetto al prodotto scalare standard, ed è per questo che ti confondi. Infatti rispetto a $<,>$ la base canonica non è ortonomale:
$<(1,0),(0,1)>\=1!=0$ (non è nemmeno ortogonale).
Allora la prima cosa da fare è trovare una base ortonormale per $<,>$, che si fa con lo stesso procedimento usato per diagonalizzare una forma quadratica, oppure con l'algoritmo di Gram-Schmidt (che è più leggero come conti).
Un modo è: $<(0,1),(0,1)>\=1$, quindi prendiamolo come vettore iniziale; poi (Gram-Schmidt) sottraiamo da $(1,0)$ la sua proiezione ortogonale nell direzione di $(0,1)$, otteniamo: $(1,0)-(1,0)G((0),(1))=(1,-1)$. Quindi ${(0,1), (1,-1)}$ è una base ortogonale, $b={(0,1),(sqrt(3)/3, -sqrt(3)/3)}$ è ortonormale. Adesso scriviamo la matrice dell'applicazone definita da $A$ rispetto a questa base :
$Ab_1=((1),(0))=b_1+3/sqrt(3)b_2$; $Ab_2=((-sqrt(3)/3),(sqrt(3)/3))=-b_2$.
La matrice che cerchiamo è $((1,0),(sqrt(3), -1))$. Adesso possiamo vedere se questa matrice è ortogonale, e non lo è, quindi: o io ho sbagliato i conti (probabile), oppure $v|->Av$ non è un'isometria.
Naturalmente c'erano altri modi, secondo me più veloci, di fare questo esercizio. Io per esempio applicherei direttamente la definizione, e andrei a verificare se $\forall v,w\inRR^2$, $
Grazie mille.
Un'ultima cosa.
QUnado fai Gram schmidt, il conto giusto è il seguente?
$((1),(0)) - {((0),(1))((4,1),(1,1))((1),(0))}/{((0),(1))((4,1),(1,1))((0),(1))} * ((0),(1))$
Un'ultima cosa.
QUnado fai Gram schmidt, il conto giusto è il seguente?
$((1),(0)) - {((0),(1))((4,1),(1,1))((1),(0))}/{((0),(1))((4,1),(1,1))((0),(1))} * ((0),(1))$
Sì.
Avevo scelto apposta di iniziare con $(0,1)$ perché $(0,1)G(0,1)=1$, quindi è un vettore di norma unitaria e questo mi faceva risparmiare di fare la divisione.
Avevo scelto apposta di iniziare con $(0,1)$ perché $(0,1)G(0,1)=1$, quindi è un vettore di norma unitaria e questo mi faceva risparmiare di fare la divisione.
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