Esercizio con matrici triangolari superiori

[BinaryMind]

Salve,

un esercizio sul mio libro chiede di trovare tutte le matrici complesse 2x2 che commutano con tutte le matrici complesse 2x2 triangolari superiori.

Penso di essere riuscito a risolverlo ma qualcosa mi dice che c'è anche un metodo più semplice di quello che ho seguito io:

$A=((a,b),(c,d))$

$B=((e,f),(0,g))$

$AB=((a*e,a*f + b*g),(c*e,c*f+d*g))$

$BA=((a*e+c*f,e*b + f*d),(c*g,d*g))$

Devo dimostrare che:

$AB$ = $BA$


Quindi:

${(a*e=a*e+c*f),(c*e=c*g),(a*f+b*g=e*b+f*d),(c*f+d*g=d*g):}$

Arrivato qua ho trovato tutte le possibili soluzioni del sistema. Le ho verificate ed erano esatte però speravo in un qualcosa di più rapido

[gugo82]

Beh, ragionando elemento per elemento, puoi certamente dire che \(c=0\) (perchè l'uguaglianza \(ce=cg\) deve essere verificata per ogni \(e,g\in \mathbb{C}\) e ciò è possibile solo se \(c\) è nullo); da ciò trai che puoi riscrivere:
\[
AB = \begin{pmatrix} ae & af+bg \\ 0 & dg\end{pmatrix} \quad \text{e} \quad BA= \begin{pmatrix} ae & be+df \\ 0 & dg\end{pmatrix}
\]
quindi l'unica condizione da imporre è che risulti \( af+bg = be+df \), ossia \((a-d)f=b(e-g)\), per ogni \(e,f,g \in \mathbb{C}\); ma ciò è possibile solo se \(a-d=0=b\), quindi la matrice incognita \(A\) è del tipo \(A=aI\).

[BinaryMind]

Grazie della risposta

non capisco però perché c debba essere uguale a 0:

ad esempio, non posso supporre che c valga 4, e che e sia uguale a g?