Esercizio con i numeri complessi
Salve a tutti. Vi propongo questo esercizio e vi chiedo di aiutarmi a risolverlo poichè non riesco a trovare la strategia giusta per la risoluzione. L'esercizio è il seguente:
Sia $ \omega = \cos(\frac{2\pi}{n}) + \i\sin(\frac{2\pi}{n}), \qquad n \in N$.
Provare che
$1+\omega^h + \omega^{2h} + ... + \omega^{(n-1)h} = 0 $
per ogni $h$ che non è multiplo di $n$.
Il ragionamento che ho fatto io è stato questo:
Chiamo $\theta = \frac{2\pi}{n}$ e $\rho = |\omega| = 1$. Allora dalle formule di De-Moivre so che
$\omega^{h} = \rho^h (\cos(h\theta) + \i\sin(h\theta)$.
Riscrivo la tesi come:
$1 + \sum_{j=1}^{n-1} \omega^{jh}$ con $j=n-k$
Calcolo quindi il generico elemento della serie
$\omega^{(n-k)h} = \cos(n-k)h\theta + \i\sin(n-k)h\theta $
$\qquad\qquad= \cos(nh\theta - kh\theta) + \i\sin(nh\theta + kh\theta)$
$\qquad\qquad= \cos(nh\theta)\cos(kh\theta) + \sin(nh\theta)sin(kh\theta) +\i(\sin(nh\theta)cos(kh\theta) - sin(kh\theta)cos(nh\theta))$
sostituendo $\theta$ e semplificando ottengo:
$\qquad\qquad=\cos(2h\pi)cos(\frac{2kh\pi}{n}) + \sin(2h\pi)\sin(frac{2kh\pi}{n}) + \i(\sin(2h\pi)\cos(\frac{2kh\pi}{n}) - sin(\frac{2kh\pi}{n})\cos(2h\pi))$
$\qquad\qquad=\cos(\frac{2kh\pi}{n}) - \i\sin(\frac{2kh\pi}{n}) $
Quindi la mia testi diventa ora
$1 + \sum_{k=1}^{n-1} \cos(\frac{2kh\pi}{n}) - \i\sin(\frac{2kh\pi}{n}) = 0$
E' una giusta strada? Ho fatto conti inutili? Se la strada è giusta, come procedo?
Sia $ \omega = \cos(\frac{2\pi}{n}) + \i\sin(\frac{2\pi}{n}), \qquad n \in N$.
Provare che
$1+\omega^h + \omega^{2h} + ... + \omega^{(n-1)h} = 0 $
per ogni $h$ che non è multiplo di $n$.
Il ragionamento che ho fatto io è stato questo:
Chiamo $\theta = \frac{2\pi}{n}$ e $\rho = |\omega| = 1$. Allora dalle formule di De-Moivre so che
$\omega^{h} = \rho^h (\cos(h\theta) + \i\sin(h\theta)$.
Riscrivo la tesi come:
$1 + \sum_{j=1}^{n-1} \omega^{jh}$ con $j=n-k$
Calcolo quindi il generico elemento della serie
$\omega^{(n-k)h} = \cos(n-k)h\theta + \i\sin(n-k)h\theta $
$\qquad\qquad= \cos(nh\theta - kh\theta) + \i\sin(nh\theta + kh\theta)$
$\qquad\qquad= \cos(nh\theta)\cos(kh\theta) + \sin(nh\theta)sin(kh\theta) +\i(\sin(nh\theta)cos(kh\theta) - sin(kh\theta)cos(nh\theta))$
sostituendo $\theta$ e semplificando ottengo:
$\qquad\qquad=\cos(2h\pi)cos(\frac{2kh\pi}{n}) + \sin(2h\pi)\sin(frac{2kh\pi}{n}) + \i(\sin(2h\pi)\cos(\frac{2kh\pi}{n}) - sin(\frac{2kh\pi}{n})\cos(2h\pi))$
$\qquad\qquad=\cos(\frac{2kh\pi}{n}) - \i\sin(\frac{2kh\pi}{n}) $
Quindi la mia testi diventa ora
$1 + \sum_{k=1}^{n-1} \cos(\frac{2kh\pi}{n}) - \i\sin(\frac{2kh\pi}{n}) = 0$
E' una giusta strada? Ho fatto conti inutili? Se la strada è giusta, come procedo?
Risposte
Sbagli a supporre che $j=n-k$: per come hai scritto la sommatoria e per quello che devi dimostrare si ha
$$1+\omega^h+\ldots+\omega^{(n-1)h}=\sum_{j=0}^{n-1}\omega^{jh}=\sum_{j=}^{n-1}(\omega^h)^j=$$
usando la somma della progressione geometrica $\sum_{k=0}^N q^k=\frac{q^{N+1}-1}{q-1}$
$$=\frac{(\omega^h)^n-1}{\omega^h-1}$$
Ora: quanto vale $\omega^{hn}$?
$$1+\omega^h+\ldots+\omega^{(n-1)h}=\sum_{j=0}^{n-1}\omega^{jh}=\sum_{j=}^{n-1}(\omega^h)^j=$$
usando la somma della progressione geometrica $\sum_{k=0}^N q^k=\frac{q^{N+1}-1}{q-1}$
$$=\frac{(\omega^h)^n-1}{\omega^h-1}$$
Ora: quanto vale $\omega^{hn}$?
Cavolo non avevo proprio pensato a quella proprietà delle potenze, chissà perchè non mi era venuta in mente. Grazie mille! 
L'unico dubbio che mi rimane a questo punto è il motivo di quel "per ogni $h$ che non è multiplo di $n$"
P.S. insomma ho fatto tanti conti inutili!
L'unico dubbio che mi rimane a questo punto è il motivo di quel "per ogni $h$ che non è multiplo di $n$"
P.S. insomma ho fatto tanti conti inutili!
Come vedi da quello che ho scritto, ogni volta che prendi un $h$ non multiplo di $n$, alla fine devi calcolare $\omega^{hn}=(\omega^n)^h=1^h=1$. Se invece fosse $h=kn$ per qualche $k$, allora già sapresti che $\omega^h=1$ e quindi la somma diventerebbe, visto che $\omega^{jh}=(\omega^h)^j=1$, la somma di $n$ volte 1, per cui varrebbe $n$.
Tutto chiaro! Grazie mille ancora!
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