Esercizio con formula di Grassman

[Mikbro]

Salve Ragazzi. C'è questo esercizio che non riesco proprio a concludere. Vi lascio la traccia:
Sia $(V,+,.)$ uno spazio vettoriale di dimensione 4su un campo $K$ e che $E$ ed $F$ siano due sottospazi vettoriali tali che:
$dim (E) = 3$ , $dim (F) = 2$ .
Quali valori può assumere $dim(E ∩ F)$?

Io ho iniziato a svolgerla attraverso la formula di Grassman,però non mi trovo con i valori da inserire.
Sappiano che $E ∩ F$ è sottospazio sia di $F$ che di $E$ allora $0 \leq $dim(E ∩ F)$\leq 3$
Poi non so come continuare...

[anto_zoolander]

Per la formula di grassman hai che $dim(E+F)=dimE+dimF-dim(EcapF)=5-dim(EcapF)$

Ora considera che $n=dimVgeqdim(E+F)=5-dim(EcapF)geq0$

Quindi $ngeq5-dim(EcapF)geq0=>5-nleqdim(EcapF)leq5$

A meno di sviste

[Mikbro]

"anto_zoolander":Per la formula di grassman hai che $dim(E+F)=dimE+dimF-dim(EcapF)=5-dim(EcapF)$

Ora considera che $n=dimVgeqdim(E+F)=5-dim(EcapF)geq0$

Quindi $ngeq5-dim(EcapF)geq0=>5-nleqdim(EcapF)leq5$

A meno di sviste

Dove n sono praticamente i valori che può assumere $dim(E+F)$ ,giusto?
Quindi 2,3,4 ?

[anto_zoolander]

Si al più $E+F=V$ poiché $E+F$ è un sottospazio di $V$ pertanto può avere al più $n$ vettori linearmente indipendenti in un sistema.

Di fatto se esistesse un sistema di $n+k,k>0$ vettori di $E+F$ linearmente indipendenti, tali vettori sarebbero contenuti in $V$ e questo è assurdo poiché $V$ ammette al più $n$ vettori indipendenti.

[Mikbro]

"anto_zoolander":Si al più $E+F=V$ poiché $E+F$ è un sottospazio di $V$ pertanto può avere al più $n$ vettori linearmente indipendenti in un sistema.

Di fatto se esistesse un sistema di $n+k,k>0$ vettori di $E+F$ linearmente indipendenti, tali vettori sarebbero contenuti in $V$ e questo è assurdo poiché $V$ ammette al più $n$ vettori indipendenti.

GRAZIE MILLE