Esercizio con basi somma intersezione sottospazi!
Salve a tutti vorrei dei chiarimenti su come svolgere questa tipologia di esercizi sulla somma e intersezione tra sottospazi:
Siano U e W sottospazi di R^4 cosi definiti:
W={ (x,y,z,t ) ∈ R^4: x+y-z=o, -x+2y+t=0, 3x-2z-t=0}
U= L ((0,2,-1,0),(1,2,0,1)).
Determinare una base di W, U, W+U e W ∩ U
Della prima domanda gia conosco la risposta, " una base di W è ad esempio [(-1,1,0,-3),(1,0,1,1)]", ma vorrei se possibile che qualcuno mi spiegasse il procedimento che porta a questo risultato, in quanto la prof non è stata per niente chiara!! Grazie in anticipo!!
Siano U e W sottospazi di R^4 cosi definiti:
W={ (x,y,z,t ) ∈ R^4: x+y-z=o, -x+2y+t=0, 3x-2z-t=0}
U= L ((0,2,-1,0),(1,2,0,1)).
Determinare una base di W, U, W+U e W ∩ U
Della prima domanda gia conosco la risposta, " una base di W è ad esempio [(-1,1,0,-3),(1,0,1,1)]", ma vorrei se possibile che qualcuno mi spiegasse il procedimento che porta a questo risultato, in quanto la prof non è stata per niente chiara!! Grazie in anticipo!!
Risposte
Ciao Piggy, benvenut* nel forum.
Innanzitutto ti informo che in questo forum è stato implementato un linguaggio per la scrittura delle formule. (Click sul link per le istruzioni)
Per quanto riguarda il tuo problema: per trovare una base di $W$ imposta il sistema omogeneo
${(x+y-z=0), (-x+2y+t=0), (3x-2z-t=0):}
L'insieme delle soluzioni sarà il sottospazio $W$ cercato. Quindi risolvi il sistema, scrivendo le soluzioni in funzione di alcuni parametri.
Dall'espressione di tali soluzioni troverai facilmente una base di $W$.
Una volta fatto ciò, proviamo a proseguire l'esercizio.
Innanzitutto ti informo che in questo forum è stato implementato un linguaggio per la scrittura delle formule. (Click sul link per le istruzioni)
Per quanto riguarda il tuo problema: per trovare una base di $W$ imposta il sistema omogeneo
${(x+y-z=0), (-x+2y+t=0), (3x-2z-t=0):}
L'insieme delle soluzioni sarà il sottospazio $W$ cercato. Quindi risolvi il sistema, scrivendo le soluzioni in funzione di alcuni parametri.
Dall'espressione di tali soluzioni troverai facilmente una base di $W$.
Una volta fatto ciò, proviamo a proseguire l'esercizio.
Riguardo a $U$, è già dato come combinazione lineare di due vettori. I quali sono una sua base.
Per una base di $W+U$ penso che tu debba mettere su una matrice sia le basi di W che quelle di U e ridurre.
Infine, per $ W nn U $ potresti scrivere $U$ in questo modo: $(0,2b,-b,0)+(a,2a,0,a)=(a,2a+2b,-b,a)$ dove:
${(x=a),(y=2a+2b),(z=-b),(t=a):}$
poi ci aggiungi W...
${(x=a),(y=2a+2b),(z=-b),(t=a),(x+y-z=0), (-x+2y+t=0), (3x-2z-t=0):}$
risolvi e trovi una base...
spero di non aver sbagliato nulla, devo dare anche io tra poco questo esame e i sottospazi sono l'argomento più ostrico.
Per una base di $W+U$ penso che tu debba mettere su una matrice sia le basi di W che quelle di U e ridurre.
Infine, per $ W nn U $ potresti scrivere $U$ in questo modo: $(0,2b,-b,0)+(a,2a,0,a)=(a,2a+2b,-b,a)$ dove:
${(x=a),(y=2a+2b),(z=-b),(t=a):}$
poi ci aggiungi W...
${(x=a),(y=2a+2b),(z=-b),(t=a),(x+y-z=0), (-x+2y+t=0), (3x-2z-t=0):}$
risolvi e trovi una base...
spero di non aver sbagliato nulla, devo dare anche io tra poco questo esame e i sottospazi sono l'argomento più ostrico.
Salve ragazzi grazie ancora per la vostra disponibilità ,soprattutto volevo scusarmi per le formule , ma sono iscritto in questo forum da manco un giorno.
Rispondendo a cirasa ho continuato l'esercizio e vorrei una sua virifica:
trovo una base di W risolvendo il sistema e ottengo come soluzioni:
$\{(z = x + y ),(t = x - 2y ):}$
e secondo queste due condizioni ho che una base di W è appunto [(-1,1,0,-3),(1,0,1,1)].
ora per risolvere W + U ,aggiungo i vettori della base di W che ho trovato, e quelli di U che gia ho, nella matrice e ottengo che una base è data ad esempio da [(0,2,-1,0),(-1,1,0,-3),(1,0,1,1)] .
Ora se volessi determinare allo stesso modo una base di W ∩ U come dovrei fare??
In quanto a raffi1 volevo chiedergli ulteriori informazioni nel modo in cui ha svolto questi esercizi.Vi ringrazio sempre in anticipo!!
Rispondendo a cirasa ho continuato l'esercizio e vorrei una sua virifica:
trovo una base di W risolvendo il sistema e ottengo come soluzioni:
$\{(z = x + y ),(t = x - 2y ):}$
e secondo queste due condizioni ho che una base di W è appunto [(-1,1,0,-3),(1,0,1,1)].
ora per risolvere W + U ,aggiungo i vettori della base di W che ho trovato, e quelli di U che gia ho, nella matrice e ottengo che una base è data ad esempio da [(0,2,-1,0),(-1,1,0,-3),(1,0,1,1)] .
Ora se volessi determinare allo stesso modo una base di W ∩ U come dovrei fare??
In quanto a raffi1 volevo chiedergli ulteriori informazioni nel modo in cui ha svolto questi esercizi.Vi ringrazio sempre in anticipo!!
Per la prima parte tutto ok.
Per quanto riguarda la base di $U+W$ devi prendere i vettori di una base di $U$ e aggiungerli uno alla volta a quelli di una base di $W$, escludendo volta per volta quelli linearmente dipendenti dai precedenti. Hai fatto così, vero?
Infine la base di $U\cap W$. Io farei così: prendo un generico vettore $(a,2a+2b,-b,a)$ di $U$ e impongo che questo vettore appartenga anche a $W$, ovvero verifichi le equazioni di $W$. Dovrei ottenere l'espressione del generico vettore di $U\cap W$ da cui posso facilmente trovare una base di $U\cap W$.
Alla fine dell'esercizio, se ho fatto bene i conti, dovrebbe essere verificata l'identità di Grassmann.
Prova a farlo. Se ci sono problemi, fai un fischio.
Per quanto riguarda la base di $U+W$ devi prendere i vettori di una base di $U$ e aggiungerli uno alla volta a quelli di una base di $W$, escludendo volta per volta quelli linearmente dipendenti dai precedenti. Hai fatto così, vero?
Infine la base di $U\cap W$. Io farei così: prendo un generico vettore $(a,2a+2b,-b,a)$ di $U$ e impongo che questo vettore appartenga anche a $W$, ovvero verifichi le equazioni di $W$. Dovrei ottenere l'espressione del generico vettore di $U\cap W$ da cui posso facilmente trovare una base di $U\cap W$.
Alla fine dell'esercizio, se ho fatto bene i conti, dovrebbe essere verificata l'identità di Grassmann.
Prova a farlo. Se ci sono problemi, fai un fischio.
In pratica io ho messo i due vettori della base di W e i due della base di U nella matrice in quanto U + W è lo spazio generato da tutti e quattro i vettori :
$((-1,1,0,-3),(1,0,1,1),(0,2,-1,0),(1,2,0,1))$
riducendo la matrice in forma a scala ottengo che una base di U + W mi è data da questi 3 vettori : [(0,2,-1,0),(-1,1,0,-3),(1,0,1,1)].Giusto?
P.s. potresti spiegarmi tutto il procedimento che usate per determinare una base di U∩W ,poichè so farlo solo usando le matrici!
$((-1,1,0,-3),(1,0,1,1),(0,2,-1,0),(1,2,0,1))$
riducendo la matrice in forma a scala ottengo che una base di U + W mi è data da questi 3 vettori : [(0,2,-1,0),(-1,1,0,-3),(1,0,1,1)].Giusto?
P.s. potresti spiegarmi tutto il procedimento che usate per determinare una base di U∩W ,poichè so farlo solo usando le matrici!
Giusta la prima risposta.
Dunque, un generico vettore di $U$ è come abbiamo detto $(a,2a+2b,-b,a)$. Esso appartiene a $W$ se verifica il sistema
${(x+y-z=0), (-x+2y+t=0), (3x-2z-t=0):}
cioè se
${(a+(2a+2b)-(-b)=0), (-a+2(2a+2b)+a=0), (3a-2(-b)-a=0):}
Risolvo il sistema e ottengo $b=-a$.
Quindi il generico vettore di $U\cap W$ è $(a,0,a,a)$. Da cui si ottiene che una base è formata dal solo vettore $(1,0,1,1)$.
Osserva che $"dim"(U\cap W)=1$. Avevamo visto che $"dim"U="dim"W=2$ e che $"dim"(U+W)=3$. Quindi è verificata (e non poteva essere altrimenti) la formula di Grassmann.
Dunque, un generico vettore di $U$ è come abbiamo detto $(a,2a+2b,-b,a)$. Esso appartiene a $W$ se verifica il sistema
${(x+y-z=0), (-x+2y+t=0), (3x-2z-t=0):}
cioè se
${(a+(2a+2b)-(-b)=0), (-a+2(2a+2b)+a=0), (3a-2(-b)-a=0):}
Risolvo il sistema e ottengo $b=-a$.
Quindi il generico vettore di $U\cap W$ è $(a,0,a,a)$. Da cui si ottiene che una base è formata dal solo vettore $(1,0,1,1)$.
Osserva che $"dim"(U\cap W)=1$. Avevamo visto che $"dim"U="dim"W=2$ e che $"dim"(U+W)=3$. Quindi è verificata (e non poteva essere altrimenti) la formula di Grassmann.
Ok grazie mille Cirasa mi hai risolto tutti i dubbi ed è stato davvero un bene averti incontrato! Pero vorrei , se possibili , l'ultimo chiarimento che non soddisfa un dubbio o un incertezza ma solo la mia curiosità, cioè vorrei vedere come avresti determinato tu una base di U + W, prendendo i vettori di una base di U e aggiungerli uno alla volta a quelli di una base di W, escludendo volta volta quelli dipendenti dai precedenti ,senza usare le matrici.Grazie sempre in anticipo!
ti devi fare più matrici... riduci e il vettore che và a 0 è dipendente.
Se considero due sottospazi cosi definiti:
U = ( (-1,1,0,0),(-2,1,1,0),(-3,1,1,1) )
W= ( (1,1,1,1), (0,1,1,0) , (0,1,0,0) )
come faccio in questo caso determinare una base e la dimensione del sottospazio U∩W ??
U = ( (-1,1,0,0),(-2,1,1,0),(-3,1,1,1) )
W= ( (1,1,1,1), (0,1,1,0) , (0,1,0,0) )
come faccio in questo caso determinare una base e la dimensione del sottospazio U∩W ??
potresti provare con questo metodo, ma prego qualcuno più esperto di me di confermare:
fai una matrice contenente sia i vettori di U che i vettori di W, la riduci e i vettori (corrispondenti alle righe) che vanno a 0, saranno una base del sottospazio intersezione.
fai una matrice contenente sia i vettori di U che i vettori di W, la riduci e i vettori (corrispondenti alle righe) che vanno a 0, saranno una base del sottospazio intersezione.
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