Esercizio con autovalori e autovettori

[viper19920]

Salve, un esercizio che ho svolto mi chiedeva gli autovalori di f, relative ma e mg, base per ciascun autospazio, stabilire se f è diagonalizzabile e determinare i valori del parametro reale h tali che ( h,-4,4) sia autovettore di f.
Con f(x,y,z)€ R^3 (x+3z,4y+z,2x) € R^3
Ho svolto tutti i punti solo alcune cose non mi sono chiare:
Svolgendo l'esercizio mi trovo come autovalori t1=4 , t2=3 e t3=-2 tutti con molteplicità algebrica 1.
Ora sostituendo alla t nel polinomio caratteristico i tre autovalori mi trovo che per t=4 ho mg 2, e per le altre 2 mg 1. In questo caso non dovrebbe essere diagonalizzabile giusto? Mentre sulla soluzione mi dice che è diagonalizzabile :/
Mentre per il parametro h mi trovo h=6 ma non capisco perchè si divide per 3. Nel senso ho :
f(h,-4,4)=(h+12,-12,2h)
Seguendo un vecchio esempio viene (h+12)/3=h, (-12/3)=4, (2h/3)=4 ma perchè diviso 3? Dipende dal numero di incognite? Grazie

[billyballo2123]

"Shadownet614":Ora sostituendo alla t nel polinomio caratteristico i tre autovalori mi trovo che per t=4 ho mg 2, e per le altre 2 mg 1. In questo caso non dovrebbe essere diagonalizzabile giusto? Mentre sulla soluzione mi dice che è diagonalizzabile :/

Sbagli i conti: la molteplicità geometrica non può essere superiore a quella algebrica. La molteplicità geometrica di un autovalore è minimo uno e massimo la molteplicità algebrica. Inoltre il polinomio ha tutte e $n$ le radici nel campo e se tutti gli autovalori hanno la molteplicità geometrica uguale a quella algebrica, allora la matrice è diagonalizzabile. Quindi in questo caso tutte le mg sono uno, così come le ma.

"Shadownet614":Mentre per il parametro h mi trovo h=6 ma non capisco perchè si divide per 3. Nel senso ho :
f(h,-4,4)=(h+12,-12,2h)
Seguendo un vecchio esempio viene (h+12)/3=h, (-12/3)=4, (2h/3)=4 ma perchè diviso 3? Dipende dal numero di incognite? Grazie

Dividi per $3$ perché $h$ è un autovettore relativo all'autovalore $3$. Una base dell'autospazio relativo all'autovalore $-2$ è $\{[-6 \ \ -1 \ \ 6]^T\}$ (come puoi vedere sostituendo la prima coordinata con $h$, ottieni $[h \ \ -1 \ \ 6]^T$ che non può essere un multiplo di $[h \ \ -4 \ \ 4]^T$), una dell'autospazio relativo all'autovalore $3$ è $\{[3 \ \ -2 \ \ 2]^T\}$ (e qui puoi vedere che il vettore $[h \ \ -4 \ \ 4]^T$ può essere un multiplo di $[3 \ \ -2 \ \ 2]^T$ se e solo se $h=6$) e infine una base dell'autospazio relativo all'autovalore $4$ è $\{[0 \ \ 1 \ \ 0]^T\}$ (anche questo non potrà mai essere un multiplo del vettore $[h \ \ -4 \ \ 4]^T$ qualunque sia $h$).

[viper19920]

con t=4 sostituendo appunto 4 al polinomio caratteristico mi trovo la matrice
$ con t=4 {: ( -3 , 0 , 3 ),( 0 , 0 , 1 ),( 2 , 0 , -4 ) :} $ che mi viene rango 1.
Quindi R^3-rango e mi trovo 2 e quindi mg=2 :/// dove sbaglio?

[viper19920]

per non aprire un altro topic , sullo stesso esercizio vi era anche questo punto sulle rette: la a l'ho fatta ma la b non capisco x-y+2z+k=0 da dove esce :///[img]https://scontent-mxp1-1.xx.fbcdn.net/hphotos-xpl1/v/t35.0-12/12788400_197444410616530_2124405865_o.jpg?oh=474b7d159b6e92472515a7c21a30d239&oe=56D148A2[/img]

[billyballo2123]

"Shadownet614":con t=4 sostituendo appunto 4 al polinomio caratteristico mi trovo la matrice
$ con t=4 {: ( -3 , 0 , 3 ),( 0 , 0 , 1 ),( 2 , 0 , -4 ) :} $ che mi viene rango 1.
Quindi R^3-rango e mi trovo 2 e quindi mg=2 :/// dove sbaglio?

Come fa a risultarti rango 1 se le prime due righe (o equivalentemente, la prima e la terza colonna) sono indipendenti?

[viper19920]

si errore mio sorry :/