Esercizio complicato sulle sfere

[mirkovic88]

ciao a tutti, vi posto il testo di un esercizio che mi ha dato seri problemi, sperando che qualcuno riesca a darmi una mano.

trovare l'equazione di una sfera con centro sul piano : x-y=0 e tangente in P(2,0,0) al piano : x-z=2...


la soluzione è x^2 + y^2 + z^2 - 4z - 4 = 0


io sinceramente non so da dove partire, di esercizi sulle sfere ne ho fatti tanti, ma questo proprio non so come farlo! vi ringrazio in anticipo, ciao a tutti

[legendre]

determina una retta $r$ perpendicolare al piano tangente e passante per $P$ tramite $det((x-2,1),(y-0,0),(z-0,-1))$,dove $(1,0,-1)$ sono
i parametri del piano $\pi:x-z=2$.Questa retta passa per il centro intersecando il piano $x-y=0$
Quindi metto a sistema $r,x-y=0$.Ottengo cosi' il centro $C$.Faccio distanza $\bar{CP}$ per avere il raggio.Fatto

[mirkovic88]

grazie , questo metodo non l'avevo mai visto. Cmq girovagando tra libri e web tutta la notte ho trovato una soluzione equivalente in cui si crea un fascio di sfere tangenti al piano nel punto dato. e da questo fascio impongo che il centro sia sul piano dato dal testo. insomma un casino pazzesco, ma che effettivamente mi da la stessa soluzione!

[franced]

"mirkovic88":
trovare l'equazione di una sfera con centro sul piano : x-y=0 e tangente in P(2,0,0) al piano : x-z=2...

La soluzione di Legendre è la migliore;
in alternativa puoi scrivere l'equazione del fascio di sfere tangenti in $P(2,0,0)$ al piano $x - z - 2 = 0$

$(x - 2)^2 + y^2 + z^2 + lambda (x - z - 2) = 0$

e imporre che il centro stia sul piano $x - y = 0$.