Esercizio compito Endomorfismi.
Salve a tutti,
Vi volevo chiedere un chiarimento su questo esercizio.
1. Trovare una base del sottospazio di $RR^4$ così definito $V={(x,y,z,t) in RR^4 | x-y=0, t=0}$.
Sia $f$ l'endomorfismo di $RR^4$ t.c. $M^\epsilon = ((1,1,-1,0),(2,0,-1,1), (1,a,2,3), (b,0,0,1))$.
Trovare valori dei parametri reali a,b per i quali f induce un endomorfismo di V e determinare $M^b (f_(|V))$.
Discutere la semplicità di $f_(|V)$.
Il sottospazio $V$ si può indicare come $V={(a,a,b,0)|a,b in RR}$ e la base sarebbe costituita dai vettori $(1,1,0,0), (0,0,1,0)$ e quindi ha dimensione 2.
Per trovare i valori di $a$,$b$ provvedo a calcolare il determinante della matrice $M^\epsilon$ e ottengo come valori $a=5, b=1$.
Dopo non so più come procedere. Per la semplicità non ho problemi, devo calcolare il polinomio caratteristico e vedere se gli autovalori che trovo sono tutti distinti ed in caso valutare le molteplicità geometriche e algebriche. Però mi blocco sul calcolo della matrice $M^b (f_(|V))$.
Grazie a tutti per l'eventuale aiuto!
Vi volevo chiedere un chiarimento su questo esercizio.
1. Trovare una base del sottospazio di $RR^4$ così definito $V={(x,y,z,t) in RR^4 | x-y=0, t=0}$.
Sia $f$ l'endomorfismo di $RR^4$ t.c. $M^\epsilon = ((1,1,-1,0),(2,0,-1,1), (1,a,2,3), (b,0,0,1))$.
Trovare valori dei parametri reali a,b per i quali f induce un endomorfismo di V e determinare $M^b (f_(|V))$.
Discutere la semplicità di $f_(|V)$.
Il sottospazio $V$ si può indicare come $V={(a,a,b,0)|a,b in RR}$ e la base sarebbe costituita dai vettori $(1,1,0,0), (0,0,1,0)$ e quindi ha dimensione 2.
Per trovare i valori di $a$,$b$ provvedo a calcolare il determinante della matrice $M^\epsilon$ e ottengo come valori $a=5, b=1$.
Dopo non so più come procedere. Per la semplicità non ho problemi, devo calcolare il polinomio caratteristico e vedere se gli autovalori che trovo sono tutti distinti ed in caso valutare le molteplicità geometriche e algebriche. Però mi blocco sul calcolo della matrice $M^b (f_(|V))$.
Grazie a tutti per l'eventuale aiuto!
Risposte
Nessuno sa aiutarmi? [emoji17]
Il sottospazio $V$ si può indicare come $V={(a,a,b,0)|a,b in RR}$ e la base sarebbe costituita dai vettori $(1,1,0,0), (0,0,1,0)$ e quindi ha dimensione 2. Per trovare una base in $RR^4$ allora utilizzo il metodo del completamento ad una base, aggiungendo i due vettori $e_1, e_2$. Non aggiungo $e_4=(0,0,0,1)$ perchè per definizione di V abbiamo che $t=0$.
Per trovare i valori di $a$,$b$ provvedo a calcolare il determinante della matrice $M^\epsilon$ e ottengo come valori $a=5, b=1$.
Fin quì è giusto?
EDIT: non posso aggiungere $e_1$ ed $e_2$ alla base altrimenti il primo vettore sarebbe c.l. di questi 2.
Per trovare i valori di $a$,$b$ provvedo a calcolare il determinante della matrice $M^\epsilon$ e ottengo come valori $a=5, b=1$.
Fin quì è giusto?
EDIT: non posso aggiungere $e_1$ ed $e_2$ alla base altrimenti il primo vettore sarebbe c.l. di questi 2.
Ragazzi penso di aver risolto l'esercizio ma non ne sono molto sicura.
La base del sottospazio di V è $B=(a,a,b,0)$ con $a,b in RR$ e quindi ha dimensione 2. Esattamente, volendo esplicitare la base $B={(1,1,0,0),(0,0,1,0)}$.
Affinchè $f$ induca un endomorfismo in V è necessario che la matrice associata rispetto alla base canonica abbia rango 2.
Facendo una riduzione per colonne ottengo come valori di $a$ e $b$ rispettivamente $-5$ e $1$.
Sostituendo questi due valori segue che le colonne l.i. della matrice $A^\epsilon$ sono le prime due.
A questo punto quindi, per trovare la matrice $A^B$ completo la base B con i vettori l.i. di $A^\epsilon$ ottenendo la matrice
$((1,1,0,0),(0,0,1,0),(1,2,1,1),(1,0,-5,0))$.
Per studiare la semplicità di $f_(|v)$ mi calcolo il polinomio caratteristico e ottengo il polinomio $T(1-T)(T+7)+1=0$ quindi gli autovalori sono tutti distinti e segue che $f_(|v)$ è semplice.
C'è qualcosa di corretto?
Grazie.
La base del sottospazio di V è $B=(a,a,b,0)$ con $a,b in RR$ e quindi ha dimensione 2. Esattamente, volendo esplicitare la base $B={(1,1,0,0),(0,0,1,0)}$.
Affinchè $f$ induca un endomorfismo in V è necessario che la matrice associata rispetto alla base canonica abbia rango 2.
Facendo una riduzione per colonne ottengo come valori di $a$ e $b$ rispettivamente $-5$ e $1$.
Sostituendo questi due valori segue che le colonne l.i. della matrice $A^\epsilon$ sono le prime due.
A questo punto quindi, per trovare la matrice $A^B$ completo la base B con i vettori l.i. di $A^\epsilon$ ottenendo la matrice
$((1,1,0,0),(0,0,1,0),(1,2,1,1),(1,0,-5,0))$.
Per studiare la semplicità di $f_(|v)$ mi calcolo il polinomio caratteristico e ottengo il polinomio $T(1-T)(T+7)+1=0$ quindi gli autovalori sono tutti distinti e segue che $f_(|v)$ è semplice.
C'è qualcosa di corretto?
Grazie.
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