Esercizio classico cambiamento di base

[miki200897]

Ragazzi, scrivo testo e procedimento ( logico e senza calcoli per capire se l'errore è di conto oppure no )
L'esercizio è il seguente
Sia $ L: R^3->R^3 $ un'applicazione lineare definita da
$ L(x,y,z)=(x-z,2x+y,2y+z) $
Scrivere la matrice rappresentativa di B rispetto alla base $ B = {(1,0,1),(2,0,0),(-3,1,1)} $

Allora scrivo tutto quello che è il mio procedimento logico.
In primis ho scritto la trasformazione con la sua matrice rappresentativa 3 x 3 ( ovviamente rispetto alla base canonica: a proposito quando mi viene data un'applicazione lineare tramite le equazioni come in questo caso è scontato che sia rispetto alla base canonica ? )
Successivamento calcolo la matrice di passaggio dalla base canonica E alla base B
Mi calcolo tramite complementi algebrici, det ecc l'inversa della matrice di passaggio ( ovvero la matrice di passaggio da B ad E )
E il mio risultato dovrebbe essere pari ad
[ PASSAGGIO DA B ad E ] X [TRASFORMAZIONE RISPETTO AD E ] X [PASSAGGIO DA E A B ]

Se il procedimento è giusto, è anche il più veloce?
Grazie per la disponibilità

[Vicia]

Devi prima trovare la matrice associata all'endomorfismo rispetto la canonica e poi esprimere le immagini (e quindi parliamo dei vettori colonna della matrice associata) rispetto la base iniziale

[mobley]

Trovi l'inversa come prodotto tra il determinante della matrice diagonalizzante e la matrice trasposta della matrice dei cofattori. Fatto ciò imponi il cambiamento di base tale che $ bar(x)^TAbar(x)=bar(x)^TPDP^Tbar(x)=bar(y)^TDbar(y) $, con $bar(y)$ pari al prodotto tra $bar(x)$ e la matrice inversa.

[anto_zoolander]

Puoi fare anche in maniera più semplice

Pongo $e_1=(1,0,1)$ , $e_2=(2,0,0)$ , $e_3=(-3,1,1)$

Scrivi $f(e_j)=a_(j1)e_1+a_(j2)e_2+a_(j3)e_3$

Quindi ottieni $A=(a_(ij))$ e hai finito... anziché fare altri calcoli