Esercizio circonferenze.

[Kashaman]

Sia $E_2(V, RR, f)$ uno spazio affine euclideo.
Si considerino :
$ \sigma _ 1 x^2+y^2 -2x -4y -5 =0$
$ \sigma_2 : x^2 + y^2 -12x +23 = 0$
1) si dica se sono secanti.
2) Si trovi l'equazione della retta tangente a $\sigma_1$ passante per il punto $A(4,3)$.

svolgimento :
Punto 1)
Ho ragionato cosi.
Si verifica facilmente che $C_1(1,1)$ è il centro della prima circonferenza la quale ha raggio $\rho _1 =1$
e che $C_2(6,0)$ è il centro della seconda circonferenza che ha raggio $\rho_2 = 11$
Pongo $j = \rho _ 1+ \rho _2$ e valuto $d(C_1 , C_2)$ , si ha che
$d := d(C_1 , C_2) = \sqrt( ( 6-1)^2+ (1)^2) = \sqrt(26)$ , essendo $d < j => \sigma_1 , \sigma_2$ sono secanti.
Punto 2) :
La retta si fatta è la retta passante per $A$ e ortogonale alla retta $[O,A]$.
$[0,A] : 2x+3y -3 =0$. Considero il fascio aperto di rette di centro $A$.
$ \phi : ( x -4) + k (y-3)=0 $ una generica retta del fascio ha equazione : $s : x+ky -3k-4=0$.
Impongo che $s $ sia perpendicolare ad $[0,A]$ . Ho che deve valere che $2*1+3*k=0 => k= -2/3$

Dunque la retta $ s : x-2/3y -2=0$ è la retta richiesta.


Vi pare buono? Grazie mille.

[Maci86]

Il raggio della prima circonferenza è giusto?

[Kashaman]

Mi sa che ho sbagliato.
il centro della prima è $C_1(1,2)$ e il raggio è $\rho_1 = \sqrt(10)$ mentre della seconda $C_2(6,0)$ e il raggio $\rho_2= \sqrt(13)$
$d(C_1,C_2)=\sqrt(29)$ che è chiaramente minore della somma dei due raggi.

[Maci86]

Esatto! Alla fine è solo una questione di conti, l'idea era giusta, dai!