Esercizio chiusura di un insieme
$ p \in A' \cap B' $$ A \cap C \ne \emptyset $Buonasera, ho un problema con un esercizio. O forse è lui ad averlo con me ... Ma proprio non riesco a trovare una soluzione a questo esercizio... Che sicuramente è più banale di quanto pensi..
Siano $A$ e $B$ due sottoinsiemi di $X$, $A, B \subset X$, con $(X,\tau)$ spazio topologico.
Devo fornire un esempio in cui la chiusura dell'intersezione di $(A \cap B)'$ è diversa dall'intersezione delle chiusure dei due $A' \cap B'$.
(con ' ho indicato la chiusura).... Ma ovviamente l'esempio non riesco a trovarlo..
Se infatti $p \in A' \cap B'$ allora $p \in A'$ e $p \in B'$. Quindi devono valere entrambe le seguenti
a) $p \in A' $ allora $\forall C \cap A \in \tau_{A}$ tale che $p \in C \cap A$ si ha $A \cap C \ne \emptyset$.
b) $p \in B' $ allora $\forall D \cap B \in \tau_{B}$ tale che $p \in B \cap D$ si ha $B \cap D \ne \emptyset$
Dove $C$ e $D$ sono aperti di $X$.
Ma quindi se $ p \in C \cap A$ e $p \in B \cap D$ allora è anche vero che $p \in C \cap A \cap B \cap D$.
E osservando che $C \cap A \cap B \cap D$ sono gli aperti di $(A \cap B) \subset X$ si ottiene anche il viceversa.....
Quindi non riesco a capire che esempio fornire per questo esercizio.. Mi date una mano?
Grazie mille a tutti
Siano $A$ e $B$ due sottoinsiemi di $X$, $A, B \subset X$, con $(X,\tau)$ spazio topologico.
Devo fornire un esempio in cui la chiusura dell'intersezione di $(A \cap B)'$ è diversa dall'intersezione delle chiusure dei due $A' \cap B'$.
(con ' ho indicato la chiusura).... Ma ovviamente l'esempio non riesco a trovarlo..
Se infatti $p \in A' \cap B'$ allora $p \in A'$ e $p \in B'$. Quindi devono valere entrambe le seguenti
a) $p \in A' $ allora $\forall C \cap A \in \tau_{A}$ tale che $p \in C \cap A$ si ha $A \cap C \ne \emptyset$.
b) $p \in B' $ allora $\forall D \cap B \in \tau_{B}$ tale che $p \in B \cap D$ si ha $B \cap D \ne \emptyset$
Dove $C$ e $D$ sono aperti di $X$.
Ma quindi se $ p \in C \cap A$ e $p \in B \cap D$ allora è anche vero che $p \in C \cap A \cap B \cap D$.
E osservando che $C \cap A \cap B \cap D$ sono gli aperti di $(A \cap B) \subset X$ si ottiene anche il viceversa.....
Quindi non riesco a capire che esempio fornire per questo esercizio.. Mi date una mano?
Grazie mille a tutti
Risposte
Fai dei disegni (degli intervalli, ad esempio).
Poi, se non ne sei già al corrente, potrebbe interessarti sapere che la chiusura di un insieme è il più piccolo chiuso che contiene l'insieme.
Poi, se non ne sei già al corrente, potrebbe interessarti sapere che la chiusura di un insieme è il più piccolo chiuso che contiene l'insieme.
Si capisco... con gli intervalli potrei prendere $I1 = [a, p)$ e $I2=(p, b]$ con a < p, e p < b... Così ovviamente p appartiene alla chiusura di A e alla chiusura di B ma l'intersezione fra questi due è vuota... Solo che dalle definizioni di punto aderente (appartenente alla chiusura) che ho scritto nei punti 1) e b) precedenti deve per forza essere $ p \in A \cap C$ e $p \in B \cap D$ con $C, D$ aperti in $X$ ... Quinsi se $p$ sta nell'intersezione sta anche nei singoli sottoinsiemi $A$ e $B$... Non capisco dove sto sbagliando...
non capisco dove sto sbagliandoUn punto p sta nella chiusura di A (insieme qualsiasi di uno spazio qualsiasi) sse ogni (insieme che contiene un) aperto contenente p interseca A: per far vedere che nel tuo esempio p sta nell'intersezione delle chiusure di [a,p[ e ]p,b] contemporaneamente, devi far vedere che, preso un intorno di p, esso avrà punti (alcuni punti, non necessariamente tutti) in [a,p[ e in ]p,b]; questo lo fai, ad esempio, considerando che, per ogni \( \epsilon>0\), dev'essere \( \left]p-\epsilon,p+\epsilon\right[\cap [a,p[ \neq \emptyset\), e la stessa cosa con ]p,b] (perché è sufficiente questo?)
Ah ... ok, perfetto... Un punto p è aderente ad un insieme S se e solo se per ogni INTORNO ( non aperto ) del punto l'intersezione di questo intorno con l'insieme S è diverso dal vuoto... ok, grazie adesso mi torna...
( non aperto )Ma anche aperto.
È uguale se prendi per intorni di un x gli insiemi che contengono un aperto contenente x, o gli aperti che contengono x.
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