Esercizio campi vettoriali

[jJjjJ1]

Ho un esercizio del DoCarmo che dice:

Prova che il campo vettoriale ottenuto sul toro tramite una parametrizzazione tramite ascissa curvilinea dei suoi meridiani è C-infinito.

Vorrei sapere se questo svolgimento è corretto:

Una parametrizzazione locale del toro è data da:

$x(u,v) = ( ( a + r cosu) cosv, (a+rcosu) senv, rsenu) $ con $u \in ( 0, 2 \pi)$ e $ v \in (0, 2 \pi)$

Si ha che un meridiano è dato, fissato $v_0 \in (0, 2 \pi)$ da:

$\gamma_{v_0} = x( u, v_0)$

Ora, $\gamma_{v_0} = x ° \beta_{v_0}$ con $\beta_{v_0} : (0, 2 \pi ) \rightarrow (0, 2\pi) x (0, 2\pi)$ data da $\beta_{v_0}( t ) = (t, v_0)$. L'ascissa curvilinea del meridiano è data da $s(t) = r( t - \pi)$ con $ t \in (0,2\pi)$. Dunque posso ottenere una riparametrizzazione di $beta_{v_0}$ come $beta_{v_0}' ( s ) = ( (s+r\pi)/r, v_0)$. Osserviamo che, nella base $x_u, x_v$ il campo vettoriale si può dunque scrivere come $w( u, v ) = 1/r x_u = ( -senu cosv, -senu senv, cosu )$ e dunque ho che evidentemente è C-infinito, poiché $a(u,v) = 1/r $ è costante.

Giusto?

[j18eos]

Se i calcoli (che non ho controllato) sono corretti: ok!