Esercizio: cambiamento di base di una matrice
Sia T:R^5-->R^2 l'applicazione lineare definita da T(x,y,z,t,u)=(x+y-2z-u,y+3z-t+u).
Sia B={(1,1,1,1,1),(0,1,1,-1,0),(0,0,1,1,0),(0,0,0,1,1),(0,-1,-1,1,1)} una base di R^5
e C={(1,1),(2,1)} una base di R^2.
Sia A la matrice M rispetto alle basi B e C.
Come si trova questa matrice?
Chi sa spiegarmi con TUTTI I PASSAGGI come si trova A?
grazie
[mod="Luca Barletta"]
I titoli si scrivono in minuscolo. Modifico.
[/mod]
Sia B={(1,1,1,1,1),(0,1,1,-1,0),(0,0,1,1,0),(0,0,0,1,1),(0,-1,-1,1,1)} una base di R^5
e C={(1,1),(2,1)} una base di R^2.
Sia A la matrice M rispetto alle basi B e C.
Come si trova questa matrice?
Chi sa spiegarmi con TUTTI I PASSAGGI come si trova A?
grazie
[mod="Luca Barletta"]
I titoli si scrivono in minuscolo. Modifico.
[/mod]
Risposte
Per motivi "tipografici" ho cambiato il nome alla base di $RR^2$ $C$; il nuovo nome dato a tale base è $ccE$... Spero ciò non generi troppa confusione.
Immagino che la legge di assegnazione di $T$ ti sia data rispetto alle due basi canoniche di $RR^5$ ed $RR^2$.
Mi pare di ricordare che $A$ sia la matrice $2xx5$ che ha per colonne le coordinate delle immagini dei vettori di $ccB$ nella base $ccE$; in altre parole la $j$-esima colonna di $A$, ossia $A^j$, è uguale a $(Te_j)_(ccE)$ (dove $e_j$ è il $j$-esimo vettore di $ccB$ e $(\cdot)_(ccE)$ indica il vettore delle coordinate nella base $ccE$).
Visto che $y=P*(y)_(ccE)$, in cui $y$ è il generico vettore di $RR^2$ in base canonica e $P$ è la matrice di passaggio da $ccE$ alla base canonica di $RR^2$, si ha $A^j=(Te_j)_(ccE)=P^(-1)*Te_j$.
Ne viene che per risolvere l'esercizio devi calcolare $P^(-1)$ e le immagini $Te_1,\ldots Te_5$ dei vettori di $ccB$ mediante $T$.
Hai $P=((1,2),(1,1))$ quindi $detP=-1$ e perciò $P^(-1)=-1*((1,-2),(-1,1))=((-1,2),(1,-1))$; d'altra parte è:
$Te_1=(1,4), quad Te_2=(-1,5), quad Te_3=(-2,2), quad Te_4=(-1,0), quad Te_5=(0,-4)$
cosicchè:
$A=P^(-1)*((1,-1,-2,-1,0),(4,5,2,0,-4))=((-1,2),(1,-1))*((1,-1,-2,-1,0),(4,5,2,0,-4))=\ldots$
Visto che l'Algebra Lineare non è proprio il mio forte, lascio confermare o smentire quanto detto a chi è più esperto di me.
Inoltre lascio a little_butterfly tutti i calcoli rimasti e la verifica di quelli già fatti.
P.S.: Per imparare a scrivere bene le formule potresti dare un'occhiata qui.
"little_butterfly":
Sia $T:RR^5 to RR^2$ l'applicazione lineare definita da $T(x,y,z,t,u)=(x+y-2z-u,y+3z-t+u)$.
Sia $ccB={(1,1,1,1,1), (0,1,1,-1,0), (0,0,1,1,0), (0,0,0,1,1), (0,-1,-1,1,1)}$ una base di $RR^5$
e $ccE={(1,1), (2,1)}$ una base di $RR^2$.
Sia $A$ la matrice rispetto alle basi $ccB$ e $ccE$.
Come si trova questa matrice?
Chi sa spiegarmi con TUTTI I PASSAGGI come si trova $A$?
grazie
Immagino che la legge di assegnazione di $T$ ti sia data rispetto alle due basi canoniche di $RR^5$ ed $RR^2$.
Mi pare di ricordare che $A$ sia la matrice $2xx5$ che ha per colonne le coordinate delle immagini dei vettori di $ccB$ nella base $ccE$; in altre parole la $j$-esima colonna di $A$, ossia $A^j$, è uguale a $(Te_j)_(ccE)$ (dove $e_j$ è il $j$-esimo vettore di $ccB$ e $(\cdot)_(ccE)$ indica il vettore delle coordinate nella base $ccE$).
Visto che $y=P*(y)_(ccE)$, in cui $y$ è il generico vettore di $RR^2$ in base canonica e $P$ è la matrice di passaggio da $ccE$ alla base canonica di $RR^2$, si ha $A^j=(Te_j)_(ccE)=P^(-1)*Te_j$.
Ne viene che per risolvere l'esercizio devi calcolare $P^(-1)$ e le immagini $Te_1,\ldots Te_5$ dei vettori di $ccB$ mediante $T$.
Hai $P=((1,2),(1,1))$ quindi $detP=-1$ e perciò $P^(-1)=-1*((1,-2),(-1,1))=((-1,2),(1,-1))$; d'altra parte è:
$Te_1=(1,4), quad Te_2=(-1,5), quad Te_3=(-2,2), quad Te_4=(-1,0), quad Te_5=(0,-4)$
cosicchè:
$A=P^(-1)*((1,-1,-2,-1,0),(4,5,2,0,-4))=((-1,2),(1,-1))*((1,-1,-2,-1,0),(4,5,2,0,-4))=\ldots$
Visto che l'Algebra Lineare non è proprio il mio forte, lascio confermare o smentire quanto detto a chi è più esperto di me.
Inoltre lascio a little_butterfly tutti i calcoli rimasti e la verifica di quelli già fatti.
P.S.: Per imparare a scrivere bene le formule potresti dare un'occhiata qui.
GRAZIE!!!!!!!
Non immagini nemmeno quanto tu mi sia stato d'aiuto!!Hai salvato il mio esame....
GRAZIE GRAZIE GRAZIE
Non immagini nemmeno quanto tu mi sia stato d'aiuto!!Hai salvato il mio esame....
GRAZIE GRAZIE GRAZIE
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