Esercizio Cambiamento di Base
Ho provato a risolvere quest'esercizio:
Sia $B = (\vec v_1, \vec v_2)$ la base di $RR^2$ costituita dai vettori
$\vec v_1 = (-1, 2)$ $\vec v_2 = (-3, 0)$,
sia $B' = (\vec w_1, \vec w_2, \vec w_3)$ la base di $RR^3$ costituita dai vettori
$\vec w_1 = (0, 1, 0)$ $\vec w_2 = (0, -2, 1)$ $\vec w_3 = (1, 1, 0)$
e sia $f : RR^2 \to RR^3$ l'applicazione lineare tale che
$f(\vec v_1) = (1, 6, -1)$ $f(\vec v_2) = (0, 1, 5)$.
Determinare le matrici $M_(\epsilon' B)(f)$, $M_(B' B)(f)$, $M_(\epsilon' \epsilon)(f)$ e $M_(B' \epsilon)(f)$, essendo $\epsilon = (\vec e_1, \vec e_2)$ la base canonica di $RR^2$ e $\epsilon' = (\vec e_1', \vec e_2', \vec e_3')$ la base canonica di $RR^3$. Trovare inoltre l'espressione esplicita $f(x, y)$ dell'applicazione data.
Faccio la prima, $M_(\epsilon' B)(f)$, la quale è molto semplice dato che bisogna semplicemente scrivere i due vettori $f(\vec v_1)$ e $f(\vec v_2)$ in colonna, e cioè:
$M_(\epsilon' B)(f) = ((1, 0),(6, 1),(-1, 5))$
Ora devo calcolarmi $M_(B' B)(f)$ e qui già mi vengono i dubbi. Pensavo che dovessi semplicemente scrivere i vettori della base $B'$ in colonna, ma poi mi verrebbe una matrice $3x3$, cosa che non penso sia giusta. A questo punto ho pensato che dovessi scrivere i vettori $f(\vec v_1)$ e $f(\vec v_2)$ come combinazione lineare dei vettori della base $B'$, e cioè:
$f(\vec v_1) = \alpha \vec w_1 + \beta \vec w_2 + \gamma \vec w_3 = \alpha (0, 1, 0) + \beta (0, -2, 1) + \gamma (1, 1, 0) = (1, 6, -1)$
$f(\vec v_2) = \alpha \vec w_1 + \beta \vec w_2 + \gamma \vec w_3 = \alpha (0, 1, 0) + \beta (0, -2, 1) + \gamma (1, 1, 0) = (0, 1, 5)$
Quindi poi dovrei mettere a sistema entrambi e trovarmi $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ di entrambi i vettori e metterli in colonna, giusto?
Ora tocca a $M_(\epsilon' \epsilon)(f)$. Da qui capisco che devo trovare $f(\vec e_1)$ e $f(\vec e_2)$ come combinazione lineare dei vettori $f(\vec v_1)$ e $f(\vec v_2)$, cioè:
$f(\vec e_1) = \alpha f(\vec v_1) + \beta f(\vec v_2)$
$f(\vec e_2) = \alpha f(\vec v_1) + \beta f(\vec v_2)$
Però per sapere $\alpha$ e $\beta$ ho bisogno di calcolarmi $\vec e_1$ e $\vec e_2$ come combinazione lineare dei vettori $\vec v_1$ e $\vec v_2$, cioè:
$\vec e_1 = \alpha \vec v_1 + \beta \vec v_2 = (1, 0)$
$\vec e_2 = \alpha \vec v_1 + \beta \vec v_2 = (0, 1)$
Metto poi a sistema entrambi e mi trovo $\alpha$ e $\beta$, che in seguito sostituisco in $f(\vec e_1)$ e $f(\vec e_2)$ per trovarmi i due vettori e metterli in colonna. E' corretto?
Per l'ultima dovrei fare una cosa simile a quella precedente, solo che, invece di fare la combinazione lineare di $f(\vec v_1)$ e $f(\vec v_2)$, farò la combinazione lineare dei vettori della base $B'$, cioe:
$f(\vec e_1) = \alpha \vec w_1 + \beta \vec w_2 + \gamma \vec w_3$
$f(\vec e_2) = \alpha \vec w_1 + \beta \vec w_2 + \gamma \vec w_3$
Faccio i vari calcoli e poi metto in colonna.
Per l'espressione esplicita invece devo semplicemente moltiplicare $M_(\epsilon' \epsilon)(f)$ per le incognite $x$ ed $y$, giusto?
Sia $B = (\vec v_1, \vec v_2)$ la base di $RR^2$ costituita dai vettori
$\vec v_1 = (-1, 2)$ $\vec v_2 = (-3, 0)$,
sia $B' = (\vec w_1, \vec w_2, \vec w_3)$ la base di $RR^3$ costituita dai vettori
$\vec w_1 = (0, 1, 0)$ $\vec w_2 = (0, -2, 1)$ $\vec w_3 = (1, 1, 0)$
e sia $f : RR^2 \to RR^3$ l'applicazione lineare tale che
$f(\vec v_1) = (1, 6, -1)$ $f(\vec v_2) = (0, 1, 5)$.
Determinare le matrici $M_(\epsilon' B)(f)$, $M_(B' B)(f)$, $M_(\epsilon' \epsilon)(f)$ e $M_(B' \epsilon)(f)$, essendo $\epsilon = (\vec e_1, \vec e_2)$ la base canonica di $RR^2$ e $\epsilon' = (\vec e_1', \vec e_2', \vec e_3')$ la base canonica di $RR^3$. Trovare inoltre l'espressione esplicita $f(x, y)$ dell'applicazione data.
Faccio la prima, $M_(\epsilon' B)(f)$, la quale è molto semplice dato che bisogna semplicemente scrivere i due vettori $f(\vec v_1)$ e $f(\vec v_2)$ in colonna, e cioè:
$M_(\epsilon' B)(f) = ((1, 0),(6, 1),(-1, 5))$
Ora devo calcolarmi $M_(B' B)(f)$ e qui già mi vengono i dubbi. Pensavo che dovessi semplicemente scrivere i vettori della base $B'$ in colonna, ma poi mi verrebbe una matrice $3x3$, cosa che non penso sia giusta. A questo punto ho pensato che dovessi scrivere i vettori $f(\vec v_1)$ e $f(\vec v_2)$ come combinazione lineare dei vettori della base $B'$, e cioè:
$f(\vec v_1) = \alpha \vec w_1 + \beta \vec w_2 + \gamma \vec w_3 = \alpha (0, 1, 0) + \beta (0, -2, 1) + \gamma (1, 1, 0) = (1, 6, -1)$
$f(\vec v_2) = \alpha \vec w_1 + \beta \vec w_2 + \gamma \vec w_3 = \alpha (0, 1, 0) + \beta (0, -2, 1) + \gamma (1, 1, 0) = (0, 1, 5)$
Quindi poi dovrei mettere a sistema entrambi e trovarmi $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ di entrambi i vettori e metterli in colonna, giusto?
Ora tocca a $M_(\epsilon' \epsilon)(f)$. Da qui capisco che devo trovare $f(\vec e_1)$ e $f(\vec e_2)$ come combinazione lineare dei vettori $f(\vec v_1)$ e $f(\vec v_2)$, cioè:
$f(\vec e_1) = \alpha f(\vec v_1) + \beta f(\vec v_2)$
$f(\vec e_2) = \alpha f(\vec v_1) + \beta f(\vec v_2)$
Però per sapere $\alpha$ e $\beta$ ho bisogno di calcolarmi $\vec e_1$ e $\vec e_2$ come combinazione lineare dei vettori $\vec v_1$ e $\vec v_2$, cioè:
$\vec e_1 = \alpha \vec v_1 + \beta \vec v_2 = (1, 0)$
$\vec e_2 = \alpha \vec v_1 + \beta \vec v_2 = (0, 1)$
Metto poi a sistema entrambi e mi trovo $\alpha$ e $\beta$, che in seguito sostituisco in $f(\vec e_1)$ e $f(\vec e_2)$ per trovarmi i due vettori e metterli in colonna. E' corretto?
Per l'ultima dovrei fare una cosa simile a quella precedente, solo che, invece di fare la combinazione lineare di $f(\vec v_1)$ e $f(\vec v_2)$, farò la combinazione lineare dei vettori della base $B'$, cioe:
$f(\vec e_1) = \alpha \vec w_1 + \beta \vec w_2 + \gamma \vec w_3$
$f(\vec e_2) = \alpha \vec w_1 + \beta \vec w_2 + \gamma \vec w_3$
Faccio i vari calcoli e poi metto in colonna.
Per l'espressione esplicita invece devo semplicemente moltiplicare $M_(\epsilon' \epsilon)(f)$ per le incognite $x$ ed $y$, giusto?
Risposte
ciao,
con $M_(\epsilon' B)(f)$ intendi la matrice associata a $f$ rispetto alla base canonica nel dominio e alla base B nel codominio?
con $M_(\epsilon' B)(f)$ intendi la matrice associata a $f$ rispetto alla base canonica nel dominio e alla base B nel codominio?
No, la base di partenza è $B$ e quella di arrivo è $\epsilon'$.
"Kernul":
A questo punto ho pensato che dovessi scrivere i vettori $f(\vec v_1)$ e $f(\vec v_2)$ come combinazione lineare dei vettori della base $B'$, e cioè:
$f(\vec v_1) = \alpha \vec w_1 + \beta \vec w_2 + \gamma \vec w_3 = \alpha (0, 1, 0) + \beta (0, -2, 1) + \gamma (1, 1, 0) = (1, 6, -1)$
$f(\vec v_2) = \alpha \vec w_1 + \beta \vec w_2 + \gamma \vec w_3 = \alpha (0, 1, 0) + \beta (0, -2, 1) + \gamma (1, 1, 0) = (0, 1, 5)$
Quindi poi dovrei mettere a sistema entrambi e trovarmi $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ di entrambi i vettori e metterli in colonna, giusto
La matrice $ M_(B' B)(f) $ deve essere associata all'applicazione lineare rispetto alla base $B$ sul dominio e $B'$ sul codominio. Pertanto, consiste nel trovare le immagini dei vettori della base $B$, che sono noti, ed esprimerli come combinazione lineare dei vettori della base $B'$ di arrivo. Il tuo procedimento è corretto.
La j-esima colonna di B saranno quindi le coordinate del vettore $f(v_{j})$ scritto rispetto alla base $B'$.
"Kernul":
Ora tocca a Mε'ε(f). Da qui capisco che devo trovare f(e⃗ 1) e f(e⃗ 2) come combinazione lineare dei vettori f(v⃗ 1) e f(v⃗ 2), cioè:
f(e⃗ 1)=αf(v⃗ 1)+βf(v⃗ 2)
f(e⃗ 2)=αf(v⃗ 1)+βf(v⃗ 2)
Però per sapere α e β ho bisogno di calcolarmi e⃗ 1 e e⃗ 2 come combinazione lineare dei vettori v⃗ 1 e v⃗ 2, cioè:
e⃗ 1=αv⃗ 1+βv⃗ 2=(1,0)
e⃗ 2=αv⃗ 1+βv⃗ 2=(0,1)
Metto poi a sistema entrambi e mi trovo α e β, che in seguito sostituisco in f(e⃗ 1) e f(e⃗ 2) per trovarmi i due vettori e metterli in colonna. E' corretto
$ M_(\epsilon' \epsilon)(f) $ è la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla base canonica su dominio e codominio. Ti basta sapere come vengono mappati gli elementi della base canonica disporli per colonna , come hai fatto tu !
$ M_(B' \epsilon)(f) $ è la matrice associata rispetto alla base canonica sullo spazio di partenza e a $B'$ sullo spazio di arrivo, pertanto, una volta trovate le immagini di $e_{1},e_{2}$ ti basta esprimerle come combinazione lineare dei coefficienti della base $B'$.
"Kernul":
Per l'espressione esplicita invece devo semplicemente moltiplicare Mε'ε(f) per le incognite x ed y, giusto?
Sì, poiché sappiamo che una matrice definisce un'applicazione lineare. Se $ A\inM_{mxn}(K) $ allora essa definisce $ \phi:K^m->K^n $ , che al generico elemento $x\inK^{m}$ associa $ x\mapstoA*x $
Quindi ho sbagliato a procedere con $M_(B' \epsilon)(f)$? Dovevo scrivere $e_1' = \alpha \vec w_1 + \beta \vec w_2 + \gamma \vec w_3 = (1, 0, 0)$ etc? Non verrebbe poi una matrice $3x3$?
Rileggi la parte su $M_(B' \epsilon)(f)$ che ho postato: le IMMAGINI di $e_{1}..$ vanno espresse come combinazione lineare rispetto a $B'$ 
Oh! Scusa! Quindi ho fatto bene. XD
Oh! Prego !
Ahahah va tranquillo nessun problema, mi è venuto in mente adesso che scrivere in maiuscolo vuol dire urlare, in realtà era per sottolineare dove stava l'errore !
Ahahah va tranquillo nessun problema, mi è venuto in mente adesso che scrivere in maiuscolo vuol dire urlare, in realtà era per sottolineare dove stava l'errore !
non so che libro o appunti utilizzi, comunque ti sconsiglio, per esperienza, di ragionare in modo meccanico con questo argomento. E' bene averlo chiaro perché spesso viene confuso o dimenticato 
Sì, infatti è meglio farli meccanicamente i cambiamenti di base. Questo l'ho notato e risparmio tempo durante l'esame. XD
All'atto pratico il meccanismo è veloce... a livello teorico un po' meno.
Io il metodo che hai usato non lo amo particolarmente, anche se devo dire che è efficace (e che io stesso nel compito l'ho usato), ma sembra semplificare tutta la parte teorica che ci sta dietro. Per esempio, non fa uso implicito dell'applicazione delle coordinate, e non è ben chiaro cosa sia una matrice associata rispetto a due basi, ecc...
Forse questo per via della breve durata dei semestri...è un peccato perché spesso si riduce a meccanismo un concetto che non è per nulla banale!
Io il metodo che hai usato non lo amo particolarmente, anche se devo dire che è efficace (e che io stesso nel compito l'ho usato
), ma sembra semplificare tutta la parte teorica che ci sta dietro. Per esempio, non fa uso implicito dell'applicazione delle coordinate, e non è ben chiaro cosa sia una matrice associata rispetto a due basi, ecc... Forse questo per via della breve durata dei semestri...è un peccato perché spesso si riduce a meccanismo un concetto che non è per nulla banale!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo