Esercizio calcolo omologia unione
Ciao,
non riesco a capire come calcolare l'omologia se considero l'unione di un anello e un rettangolo:
anello :U = ${3<|z|<2}$ $ uu $ $[-2.5,2.5]$ X $[-1,1]$
Potreste aiutarmi a capire come calcolare $H_0(U) , H_1(U)$?
non riesco a capire come calcolare l'omologia se considero l'unione di un anello e un rettangolo:
anello :U = ${3<|z|<2}$ $ uu $ $[-2.5,2.5]$ X $[-1,1]$
Potreste aiutarmi a capire come calcolare $H_0(U) , H_1(U)$?
Risposte
Intuitivamente, cosa rappresentano i gruppi $H_0X$ e $H_1X$ (o meglio i loro ranghi) di un generico spazio topologico $X$?
$H_0(X)$ è isomorfo ad $R^n$ dove n è il numero di componenti connesse per archi
$H_1(X)$ è invece $(Z_n(X))/(B_n (X))$ dove $Z_n$ sono i cicli e $B_n$ sono i bordi.
Se considerassi solo l'anello avrei che il complementare è 1+1 connesso, con 1 parte limitata e una illimitata, per cui avrei
$H_1(X)$ isomorfo a $Z$.
Da un caso simili ho notato che se considero una figura data dall'unione di più anelli come ad esempio :
V = {1<|z|<2} $ uu ${ 3<|z|< 4} il complementare di V è 2+1 connessa (2 spazi limitati e uno illimitato) con $H_1(V)$ isomorfo a $Z^2$
se unisco V con l'intervallo [0,3] allora il complementare diventa 1+1.
Ma non mi è chiaro quest'ultimo passaggio e come procedere nel caso di un rettangolo come sopra.
$H_1(X)$ è invece $(Z_n(X))/(B_n (X))$ dove $Z_n$ sono i cicli e $B_n$ sono i bordi.
Se considerassi solo l'anello avrei che il complementare è 1+1 connesso, con 1 parte limitata e una illimitata, per cui avrei
$H_1(X)$ isomorfo a $Z$.
Da un caso simili ho notato che se considero una figura data dall'unione di più anelli come ad esempio :
V = {1<|z|<2} $ uu ${ 3<|z|< 4} il complementare di V è 2+1 connessa (2 spazi limitati e uno illimitato) con $H_1(V)$ isomorfo a $Z^2$
se unisco V con l'intervallo [0,3] allora il complementare diventa 1+1.
Ma non mi è chiaro quest'ultimo passaggio e come procedere nel caso di un rettangolo come sopra.
Cerca di scrivere tutte le formule correttamente per cortesia, è un po' faticoso leggere i tuoi messaggi.
Come hai ben detto il rango di $H_0X$ è il numero di componenti connesse per archi di $X$, ma occhio che \(H_0X\) è isomorfo a \(\mathbb{Z}^k\) e non a $RR^k$.
Il rango di $H_1X$ invece misura il numero di "buchi"[nota]Tutti gli $H_p$ misurano "buchi", ma di tipo diverso. Se restiamo nel piano "buchi" è abbastanza accurato[/nota]
Intuitivamente quindi, da un disegno dovresti essere in grado di indovinare la risposta esatta.
Cominciamo con ordine a scrivere quel che sappiamo. Poniamo \(U := \{2 < |z| < 3\}\) e \(V := [-2.5,2.5] \times [-1,1]\).
Come hai detto $U$ ha una componente connessa ed è $(1+1)$-connesso (ha quindi un buco).
Quindi: \(H_0U \cong \mathbb{Z}\), \(H_1U \cong \mathbb{Z}\).
$V$ è un rettangolo (sei sicuro sia chiuso?!) quindi \(H_0V \cong \mathbb{Z}\) e \(H_1V = 0\) perchè è $(0+1)$-connesso.
Adesso dobbiamo proseguire, cosa sappiamo di $U \cup V$ e $U \cap V$? Prova ad aiutarti con un disegno (in scala!) e vedere che insiemi ottieni e poi ne discutiamo.
EDIT: La discussione prosegue in parallelo su un altro thread: viewtopic.php?f=37&t=163766
Come hai ben detto il rango di $H_0X$ è il numero di componenti connesse per archi di $X$, ma occhio che \(H_0X\) è isomorfo a \(\mathbb{Z}^k\) e non a $RR^k$.
Il rango di $H_1X$ invece misura il numero di "buchi"[nota]Tutti gli $H_p$ misurano "buchi", ma di tipo diverso. Se restiamo nel piano "buchi" è abbastanza accurato[/nota]
Intuitivamente quindi, da un disegno dovresti essere in grado di indovinare la risposta esatta.
Cominciamo con ordine a scrivere quel che sappiamo. Poniamo \(U := \{2 < |z| < 3\}\) e \(V := [-2.5,2.5] \times [-1,1]\).
Come hai detto $U$ ha una componente connessa ed è $(1+1)$-connesso (ha quindi un buco).
Quindi: \(H_0U \cong \mathbb{Z}\), \(H_1U \cong \mathbb{Z}\).
$V$ è un rettangolo (sei sicuro sia chiuso?!) quindi \(H_0V \cong \mathbb{Z}\) e \(H_1V = 0\) perchè è $(0+1)$-connesso.
Adesso dobbiamo proseguire, cosa sappiamo di $U \cup V$ e $U \cap V$? Prova ad aiutarti con un disegno (in scala!) e vedere che insiemi ottieni e poi ne discutiamo.
EDIT: La discussione prosegue in parallelo su un altro thread: viewtopic.php?f=37&t=163766
Osservando il disegno mi verrebbe da dire che per $U \uu V$ se guardo il complementare ho due spazi limitati (sopra e sotto il rettangolo) e uno illimitato per cui direi $H_1 U \uu V ~= \ZZ ^2$ poichè è 2+1 connesso.
Invece per $U \nn V$ due componenti connesse (che sono le due parti laterali del rettangolo che intersecano l'anello) ma se guardo il complementare ho solamente la componente connessa illimitata per cui $H_1 U \nn V ~= \ZZ $ 0+1 connesso
in questo modo però non mi ritrovo nella relazione $|H_1 U \nn V | = |H_1 U| + |H_1 V| - |H_1 U \uu V |$
perchè avrei 0 = 1 + 0 - 2
Invece per $H_0 U \uu V ~= \ZZ $ perchè ho una componente connessa
mentre $H_0 U \nn V ~= \ZZ ^2$ ha due componenti connesse
però anche qui sto sbagliando qualcosa perchè verificando con
$|H_0 U \nn V | = |H_0 U| + |H_0 V| - |H_0 U \uu V |$
avrei 2 = 1 + 1 -1
Invece per $U \nn V$ due componenti connesse (che sono le due parti laterali del rettangolo che intersecano l'anello) ma se guardo il complementare ho solamente la componente connessa illimitata per cui $H_1 U \nn V ~= \ZZ $ 0+1 connesso
in questo modo però non mi ritrovo nella relazione $|H_1 U \nn V | = |H_1 U| + |H_1 V| - |H_1 U \uu V |$
perchè avrei 0 = 1 + 0 - 2
Invece per $H_0 U \uu V ~= \ZZ $ perchè ho una componente connessa
mentre $H_0 U \nn V ~= \ZZ ^2$ ha due componenti connesse
però anche qui sto sbagliando qualcosa perchè verificando con
$|H_0 U \nn V | = |H_0 U| + |H_0 V| - |H_0 U \uu V |$
avrei 2 = 1 + 1 -1
Ho provato in questo modo :
$|H_0(U)| = 1$, $|H_0(V)| = 1$ $|H_1(U)| = 1$ perchè l'anello è 1+1 connesso $|H_1(V)| = 0$ perchè il rettangolo è 0 +1 connesso, $|H_0(U \uu V)| = 1$ perchè unione di connessi che hanno intersezione non vuota, $|H_0(U \nn V)| = 2$ perchè ho due componenti connesse, $|H_1(U \nn V)| = 0$ perchè è 0+1 connesso. per cui ho
$0 \rightarrow 0 \rightarrow ZZ \oplus 0 rightarrow H_1 (U \uu V) $
$\rightarrow ZZ ^2 \rightarrow ZZ \oplus ZZ \rightarrow ZZ \rightarrow 0$
che vuol dire 1 - $|H_1(U \uu V)|$ + 2 - (1+1) +1 cioè $|H_1(U \uu V)|$ = 2 giusto?
$|H_0(U)| = 1$, $|H_0(V)| = 1$ $|H_1(U)| = 1$ perchè l'anello è 1+1 connesso $|H_1(V)| = 0$ perchè il rettangolo è 0 +1 connesso, $|H_0(U \uu V)| = 1$ perchè unione di connessi che hanno intersezione non vuota, $|H_0(U \nn V)| = 2$ perchè ho due componenti connesse, $|H_1(U \nn V)| = 0$ perchè è 0+1 connesso. per cui ho
$0 \rightarrow 0 \rightarrow ZZ \oplus 0 rightarrow H_1 (U \uu V) $
$\rightarrow ZZ ^2 \rightarrow ZZ \oplus ZZ \rightarrow ZZ \rightarrow 0$
che vuol dire 1 - $|H_1(U \uu V)|$ + 2 - (1+1) +1 cioè $|H_1(U \uu V)|$ = 2 giusto?
Sì, mi sembra giusto. Poi è confermato dal fatto che visivamente l'unione ha due buchi 
L'unica cosa è che a rigore il rettangolo dev'essere aperto e non chiuso per poter utilizzare i risultati che sappiamo.
Proseguiamo la discussione nell'altro thread che hai aperto in modo da non proseguire in parallelo.
L'unica cosa è che a rigore il rettangolo dev'essere aperto e non chiuso per poter utilizzare i risultati che sappiamo.
Proseguiamo la discussione nell'altro thread che hai aperto in modo da non proseguire in parallelo.
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