Esercizio basic topologia

[giuscri]

Dire se il seguente insieme $A$ è chiuso, limitato; trovarne frontiera, punti interni e derivato.

$A = {(x,y) \in RR^2 : sqrt((9-x^2-y^2) * (2x - x^2 - y^2 -1)) \in RR}$

Ho trovato che:

$A = {\barx \in RR^2 : |\barx| >= 3} \cup {(1,0)}$

${"Frontiera di A"} = \partialA = {\barx \in A : |\barx| = 3} \cup {(1,0)}$

${"Punti di accumulazione per A"} = {\barx \in RR^2 : |\barx| >= 3}$

$A$ non è limitato ed è chiuso (i.e. non è aperto).

Si può fare?

[ciampax]

Secondo me $A=\{\mathbf{x}\in RR^2\ :\ \|\mathbf{x}\|\le 3\}$, non trovi? Visto che $9-x^2-y^2\ge 0$ implica $x^2+y^2\le 9$

[giuscri]

"ciampax":Secondo me $A=\{\mathbf{x}\in RR^2\ :\ \|\mathbf{x}\|\le 3\}$, non trovi? Visto che $9-x^2-y^2\ge 0$ implica $x^2+y^2\le 9$

Devo ammettere che ho fatto un po' di pasticci risolvendo le condizioni d'esistenza di quella radice: ha senso o se i due contenuti delle parantesi sono positivi, o entrambi negativi, oppure uno dei due è nullo (o entrambi nulli).

$9 - x^2 - y^2 >= 0$ sse $x^2 + y^2 <= 9$

$2x - x^2 - y^2 - 1 >= 0$ sse $(x-1)^2 + y^2 <= 0$

Allora sicuramente la possibilità che siano entrambi positivi sfuma, dato che la seconda "parentesi" non lo è mai.
Entrambi negativi? Possibile, perché

$(x-1)^2 + y^2 > 0, \forall x,y \in RR$

e d'altro canto:

$x^2 + y^2 > 9$

Quindi sicuramente la radice è definita per tutti i punti all'esterno della circonferenza di raggio $3$.

Entrambi nulli? Va bene anche quì, cioè:

$x^2 + y^2 = 9$ cioè tutti i punti del bordo della circonferenza

$(x-1)^2 + y^2 = 0$ cioè il punto $(1, 0)$.

..non so, sento che mi sto impappinando. Una mano?

[ciampax]

Sì, risolvendolo ieri sera a occhio, penasavo al secondo fattore scritto con i segni cambiati. Effettivamente è come dici, anche se puoi procedere in maniera più spedita: se in un prodotto $AB$ uno dei due fattori, $B$ per esempio, è sempre minore o uguale a zero, allora la disequazione $AB\ge 0$ implica che debba essere $A\le 0$. Per cui effettivamente basta verificare quando $9-x^2-y^2\le 0$ e quindi $x^2+y^2\ge 9$, cioè l'esterno della circonferenza incluso il bordo della stessa. A questo va unito il punto $(1,0)$. Per cui, $A$ è sicuramente non limitato. Il suo complementare che è l'interno della circonferenza di raggio 3 privato del bordo e di un punto è aperto, ergo $A$ è chiuso. Ti resta solo da determinare l'interno (frontiera e derivato sono corretti).