Esercizio basi di sottospazi
Ciao a tutti sto provando a risolvere un esercizio ma non so se sia giusto il mio procedimento..l'esercizio è:
Sia V=R3[t] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado <=3 e siano S il sottospazio generato da p1(t)=2-t+t^3 ; p2(t)=t+2t^2-2t^3 ; p3(t)=2-3t-4t^2+5t^3 e T quello definito da T={p(t) \in V | p(1)=0}. Si determinino dimensione e basi per S,T,S+T,S \cap T.
Io ho verificato che i 3 polinomi sono linearmente dipendenti quindi S è generato dai primi due polinomi e ha dim=2. Per trovare la base di T ho verificato quale dei tre polinomi calcolato in 1 da come risultato 0 e soltanto il terzo verifica la condizione quindi p3(t) dovrebbe essere la base di T e quindi dimT=1. E' giusto quello che ho fatto fino ad ora? come trovo la base per S+T e S \cap T? grazie in anticipo
Sia V=R3[t] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado <=3 e siano S il sottospazio generato da p1(t)=2-t+t^3 ; p2(t)=t+2t^2-2t^3 ; p3(t)=2-3t-4t^2+5t^3 e T quello definito da T={p(t) \in V | p(1)=0}. Si determinino dimensione e basi per S,T,S+T,S \cap T.
Io ho verificato che i 3 polinomi sono linearmente dipendenti quindi S è generato dai primi due polinomi e ha dim=2. Per trovare la base di T ho verificato quale dei tre polinomi calcolato in 1 da come risultato 0 e soltanto il terzo verifica la condizione quindi p3(t) dovrebbe essere la base di T e quindi dimT=1. E' giusto quello che ho fatto fino ad ora? come trovo la base per S+T e S \cap T? grazie in anticipo
Risposte
\in significa appartenente e \cap significa intersezione
Prima cosa, mi metto nella base canonica dei polinomi e riscrivo in maniera più chiara i due sottospazi:
$RR[x]_(≤3)=<1,x,x^2,x^3>$
$S:<((2),(-1),(0),(1)),((0),(1),(2),(-2)),((2),(-1),(-4),(5))>$
Per trovare $T$, grazie a Ruffini, sai che un polinomio ha per soluzione x=1 se e solo se è divisibile per (x-1), quindi ora non ci basta che moltiplicare (x-1) per la base canonica e trovaremo T:
$T:<((-1),(1),(0),(0)), ((0),(-1),(1),(0)),((0),(0),(-1),(1))>$
Ora verifichiamo l'unione, sono entrambi sottospazi di dimensione 3 in uno spazio di dimensione 4, quindi o coincidono o la loro unione è tutto lo spazio, per esercizio, troviamo la base canonica utilizzando $S uu T$:
$ e_2=s_2+2t_3$
$ e_1=-t_1+e_2=-t_1 +s_2+2t_3=s_2 -t_1 +2t_3$
$ e_3=t_2+e_2=t_2 +s_2 +2t_3=s_2 +t_2 +2t_3$
$ e_4=t_3+e_3=t_3+s_2+t_2+2t_3=s_2+t_2+3t_3$
Per Grassman, da leggere alla He-Man, abbiamo che l'intersezione deve avere dimensione due, facciamo i furbi e vediamo come si comportano i polinomi di s calcolati in 1:
$s_1(1)=2,s_2(1)=1,s_3(1)=(2)$
Quindi dobbiamo trovare una combinazione di questi polinomi che dia 0, direi cercando i conti facili:
$(s_1-s_3)(1)=0,(s_1-2s_2)(1)=0$
Quindi:
$SnnT:<((0),(0),(4),(-4)),((2),(-3),(-4),(5))>$
Scrivimi pure se non ti è chiaro
$RR[x]_(≤3)=<1,x,x^2,x^3>$
$S:<((2),(-1),(0),(1)),((0),(1),(2),(-2)),((2),(-1),(-4),(5))>$
Per trovare $T$, grazie a Ruffini, sai che un polinomio ha per soluzione x=1 se e solo se è divisibile per (x-1), quindi ora non ci basta che moltiplicare (x-1) per la base canonica e trovaremo T:
$T:<((-1),(1),(0),(0)), ((0),(-1),(1),(0)),((0),(0),(-1),(1))>$
Ora verifichiamo l'unione, sono entrambi sottospazi di dimensione 3 in uno spazio di dimensione 4, quindi o coincidono o la loro unione è tutto lo spazio, per esercizio, troviamo la base canonica utilizzando $S uu T$:
$ e_2=s_2+2t_3$
$ e_1=-t_1+e_2=-t_1 +s_2+2t_3=s_2 -t_1 +2t_3$
$ e_3=t_2+e_2=t_2 +s_2 +2t_3=s_2 +t_2 +2t_3$
$ e_4=t_3+e_3=t_3+s_2+t_2+2t_3=s_2+t_2+3t_3$
Per Grassman, da leggere alla He-Man, abbiamo che l'intersezione deve avere dimensione due, facciamo i furbi e vediamo come si comportano i polinomi di s calcolati in 1:
$s_1(1)=2,s_2(1)=1,s_3(1)=(2)$
Quindi dobbiamo trovare una combinazione di questi polinomi che dia 0, direi cercando i conti facili:
$(s_1-s_3)(1)=0,(s_1-2s_2)(1)=0$
Quindi:
$SnnT:<((0),(0),(4),(-4)),((2),(-3),(-4),(5))>$
Scrivimi pure se non ti è chiaro
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