Esercizio base ortonormale
Avrei da proporvi un esercizio:
Si consideri $RR^4$ con il prodotto scalare canonico.
Si determini una base ortonormale di:
$W=<((1),(0),(0),(0)),((0),(0),(0),(1)),((1),(1),(1),(1))>$
Mia soluzione:
Si definisce base ortonormale una base ortogonale i cui vettori hanno norma 1.
Devo quindi verificare le seguenti condizioni:
$v_i*v_j=0$ con $i!=j$
$||v_i||=1$
Andando a sostituire appuro che $((1),(1),(1),(1))$ non è un vettore ortogonale agli altri, che invece fra di loro lo sono...
Elimino $((1),(1),(1),(1))$ da W
Quindi, sapendo che la dimW=3 sono andato a aggiungere un vettore $a$ che mi verificasse questa relazione:
$det((1,0,1,a_1),(0,0,1,a_2),(0,0,a_3),(0,1,1,a_4))=0$
e facendo i miei conti da una parte ho trovato il vettore $((0),(1/sqrt(2)),(1/sqrt(2)),(0))$..
Esiste un modo + veloce?
Si consideri $RR^4$ con il prodotto scalare canonico.
Si determini una base ortonormale di:
$W=<((1),(0),(0),(0)),((0),(0),(0),(1)),((1),(1),(1),(1))>$
Mia soluzione:
Si definisce base ortonormale una base ortogonale i cui vettori hanno norma 1.
Devo quindi verificare le seguenti condizioni:
$v_i*v_j=0$ con $i!=j$
$||v_i||=1$
Andando a sostituire appuro che $((1),(1),(1),(1))$ non è un vettore ortogonale agli altri, che invece fra di loro lo sono...
Elimino $((1),(1),(1),(1))$ da W
Quindi, sapendo che la dimW=3 sono andato a aggiungere un vettore $a$ che mi verificasse questa relazione:
$det((1,0,1,a_1),(0,0,1,a_2),(0,0,a_3),(0,1,1,a_4))=0$
e facendo i miei conti da una parte ho trovato il vettore $((0),(1/sqrt(2)),(1/sqrt(2)),(0))$..
Esiste un modo + veloce?
Risposte
Il tuo metodo va benissimo e dimostra che sei bravo.
Se vuoi fare le cose più velocemente puoi andare un po' più ad intuito.
Ovviamente, come hai notato tu $((1),(1),(1),(1))$ non è ortogonale agli altri 2.
Se prendo però $((0),(1),(1),(0))$ ho che questo è ovviamente ortogonale algi altri 2 e inoltre si ha $((1),(1),(1),(1))=((1),(0),(0),(0))+((0),(0),(0),(1))+((0),(1),(1),(0))$ e quindi $W=<((1),(0),(0),(0)),((0),(0),(0),(1)),((0),(1),(1),(0))>$
Questa è una base ortogonale.
Per renderla ortonormale basta dividere ogni vettore per la sua norma.
I primi 2 hanno norma 1 e l'ultimo ha norma $sqrt(2)$ e ritrovi così il risultato che avevi ottenuto tu
Se vuoi fare le cose più velocemente puoi andare un po' più ad intuito.
Ovviamente, come hai notato tu $((1),(1),(1),(1))$ non è ortogonale agli altri 2.
Se prendo però $((0),(1),(1),(0))$ ho che questo è ovviamente ortogonale algi altri 2 e inoltre si ha $((1),(1),(1),(1))=((1),(0),(0),(0))+((0),(0),(0),(1))+((0),(1),(1),(0))$ e quindi $W=<((1),(0),(0),(0)),((0),(0),(0),(1)),((0),(1),(1),(0))>$
Questa è una base ortogonale.
Per renderla ortonormale basta dividere ogni vettore per la sua norma.
I primi 2 hanno norma 1 e l'ultimo ha norma $sqrt(2)$ e ritrovi così il risultato che avevi ottenuto tu
Grazie Misanino...
Comunque volevo chiederti:
Sapresti dirmi delle tipologie di esercizi che richiedono il ragionamento veloce e dunque una perfetta conoscenza della teoria? Te lo chiedo perché il mio professore all'orale esige ciò... domande apparentemente complesse spiegate rapidamente con un semplice ragionamento logico...
Se hai alcune domande intriganti da propormi fallo pure... così perfeziono la mia rapidità di ragionamento...^^...
Grazie ancora,
Andrea
Comunque volevo chiederti:
Sapresti dirmi delle tipologie di esercizi che richiedono il ragionamento veloce e dunque una perfetta conoscenza della teoria? Te lo chiedo perché il mio professore all'orale esige ciò... domande apparentemente complesse spiegate rapidamente con un semplice ragionamento logico...
Se hai alcune domande intriganti da propormi fallo pure... così perfeziono la mia rapidità di ragionamento...^^...
Grazie ancora,
Andrea
"Andrea990":
Grazie Misanino...
Comunque volevo chiederti:
Sapresti dirmi delle tipologie di esercizi che richiedono il ragionamento veloce e dunque una perfetta conoscenza della teoria? Te lo chiedo perché il mio professore all'orale esige ciò... domande apparentemente complesse spiegate rapidamente con un semplice ragionamento logico...
Se hai alcune domande intriganti da propormi fallo pure... così perfeziono la mia rapidità di ragionamento...^^...
Grazie ancora,
Andrea
Io direi che sei comunque gia' bravo a ragionare.
Sinceramente non saprei proporti esercizi che richiedono un ragionamento veloce o no. Quando li trovo li faccio e basta, ma poi non me li ricordo
Solo, quando hai il prodotto scalare canonico, allora il ragionamento si fa molto rapido ed e' facile vedere ad occhio se 2 vettori sono ortogonali o no.
Tranquillo comunque. Sono sicuro che l'esame andra' bene. Ciao
Grazie... Il fatto è che ho ancora 8 giorni di preparazione e voglio trovare tutte le mie lacune e schiarirmi il più possibile le idee...^^... comunque grazie mille... per l'esercizio dell'altro argomento("Hom(Hom(V,W),Hom(Z,Y))") parlo con gli altri e mi faccio spiegare la richiesta...
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