Esercizio base ortogonale (algebra lineare)?
Si consideri R4 con il prodotto scalare canonico, e sia
V = { (1; 2; 2; 1) T ; (3; 1; 1; 3) T } : (T indica la trasposizione)
Si determinino:
una base ortogonale di V
una base di V ortogonale
Qualcuno sa spiegarmi in modo comprensibile come si procede alla risoluzione di questo tipo di esercizi? Grazie a chi risponderà!
V = { (1; 2; 2; 1) T ; (3; 1; 1; 3) T } : (T indica la trasposizione)
Si determinino:
una base ortogonale di V
una base di V ortogonale
Qualcuno sa spiegarmi in modo comprensibile come si procede alla risoluzione di questo tipo di esercizi? Grazie a chi risponderà!
Risposte
La risposta è http://en.wikipedia.org/wiki/Gram%E2%80%93Schmidt_process.
Attendo i tuoi tentativi, come da regolamento.
Paola
Attendo i tuoi tentativi, come da regolamento.
Paola
Hai ragione, ho letto il regolamento, ma purtroppo parto da zero e non so fare niente...se puoi rispondere comunque mi fai un favore..grazie..
Nel link che ti ho dato ci sono anche degli esempi. Mostra un minimo d'impegno. Se non sai normalizzare un insieme di soli 2 vettori, scordati di passare un esame.
Paola
Paola
Grazie per il tuo incoraggiamento..evidentemente non sei mai partita da 0...-.-
Siamo tutti partiti da zero, bello mio. La differenza sta nell'avere un po' di autonomia (che, sai com'è, è un requisito obbligatorio all'università).
In questo forum tendiamo a non imboccare la gente come neonati, ma siamo sempre disposti ad aiutare chi ha voglia di impegnarsi.
Nel link c'è una formula ESPLICITA e, nel caso tu la trovassi troppo generale, ci sono degli esempi.
Non dico "risolvilo da solo", ma almeno fai un tentativo, posta il tentativo e ci guardiamo insieme.
Paola
In questo forum tendiamo a non imboccare la gente come neonati, ma siamo sempre disposti ad aiutare chi ha voglia di impegnarsi.
Nel link c'è una formula ESPLICITA e, nel caso tu la trovassi troppo generale, ci sono degli esempi.
Non dico "risolvilo da solo", ma almeno fai un tentativo, posta il tentativo e ci guardiamo insieme.
Paola
Qui sul forum si preferisce non dare "soluzioni pronte" a studenti che non sanno neanche da dove partire. Il suggerimento di Paola è sufficiente a metterti sulla buona strada.
Hai ragione Paola...non volevo offendere nessuno...il problema è che il mio professore a mio giudizio non è stato in grado di spiegarmi certe cose e anche vedendo certi procedimenti o formule mi ci vuole un po' per capirle...comunque ora scrivo cosa ho fatto io anche se non sono passato da Gram-Schimdt..devo un attimo capire come si scrivono i vettori in formule qui però..
Questa è la fonte migliore, comunque il codice per i vettori è:
per ottenere
$((a),(b),(c))$
Paola
((a),(b),(c))
per ottenere
$((a),(b),(c))$
Paola
Ok...allora quello che ho fatto è il seguente procedimento: sapendo che devo trovare dei vettori tali che il prodotto scalare con se stessi sia diverso da zero e con altri sia zero (per poter essere ortogonali) ho fatto cosi...
Lo spazio era composto da questi due vettori:
V = $((1,2,2,1))^T$ , $((3,1,1,3))^T$
Ho preso il primo e ho notato che il prodotto scalare con se stesso era diverso da zero: pertanto con l'ausilio di un vettore generico ho trovato che condizioni doveva soddisfare un vettore x per essere ortogonale a quello scelto. Dopo aver ricavato questo vettore sostituendo all'espressione che dovevo risolvere le componenti della base canonica, ho ripetuto questo procedimento per trovare un vettore ortogonale a quello di partenza e a quello appena trovato. A questo punto vorrei sapere se il mio procedimento è giusto e da quanti vettori deve essere formata la base (e se devo includere quello di partenza o meno nella base)..grazie..
Lo spazio era composto da questi due vettori:
V = $((1,2,2,1))^T$ , $((3,1,1,3))^T$
Ho preso il primo e ho notato che il prodotto scalare con se stesso era diverso da zero: pertanto con l'ausilio di un vettore generico ho trovato che condizioni doveva soddisfare un vettore x per essere ortogonale a quello scelto. Dopo aver ricavato questo vettore sostituendo all'espressione che dovevo risolvere le componenti della base canonica, ho ripetuto questo procedimento per trovare un vettore ortogonale a quello di partenza e a quello appena trovato. A questo punto vorrei sapere se il mio procedimento è giusto e da quanti vettori deve essere formata la base (e se devo includere quello di partenza o meno nella base)..grazie..
Alcuni accorgimenti: il prodotto di un vettore con se stesso restituisce la sua norma al quadrato ($$ $=|v|^2$) e inoltre $|v|^2=0 \Leftrightarrow |v|=0 \Leftrightarrow v=0$. In altre parole è un controllo che puoi risparmiarti, perché solo il vettore nullo ha prodotto scalare con se stesso nullo.
Non ho capito bene la seconda parte. Dunque, tu sei arrivato a $x+2y+2z+t=0$, ovvero il vettore che cerchi deve soddisfare questa equazione. Riscriviamo l'equazione come $x=-2y-2z-t$ e scegliamo in modo arbitrario i valori $y,z,t$, ad esempio scegliamoli nulli tranne $t=1$: dunque uno dei vettori che ci può andare bene è $(-1,0,0,1)$. La base ortogonale dunque è ${(1,2,2,1),(-1,0,0,1)}$. La dimensione di $V$ è $2$ perché i vettori iniziali con cui è stato definito nella consegna sono linearmente indipendenti.
Paola
Non ho capito bene la seconda parte. Dunque, tu sei arrivato a $x+2y+2z+t=0$, ovvero il vettore che cerchi deve soddisfare questa equazione. Riscriviamo l'equazione come $x=-2y-2z-t$ e scegliamo in modo arbitrario i valori $y,z,t$, ad esempio scegliamoli nulli tranne $t=1$: dunque uno dei vettori che ci può andare bene è $(-1,0,0,1)$. La base ortogonale dunque è ${(1,2,2,1),(-1,0,0,1)}$. La dimensione di $V$ è $2$ perché i vettori iniziali con cui è stato definito nella consegna sono linearmente indipendenti.
Paola
Ok grazie per l'accortezza...si ho fatto cosi ma dopo ho trovato un terzo vettore ortogonale sia a quello di partenza si a quello ricavato come hai fatto te perchè pensavo che il vettore di partenza non lo dovessi includere nella base ortogonale...quindi in generale come faccio a sapere da quanti vettori deve essere formata la mia base?
E inoltre sai rispondermi al secondo punto del problema iniziale? Non ho ben capito cosa devo calcolare...ma ho pensato che V ortogonale fosse formato dai vettori appena calcolati che essere linearmente indipendenti formano una base di V ortogonale...è giusto? Altrimenti cosa si intende per V ortogonale appunto? grazie di nuovo...
E inoltre sai rispondermi al secondo punto del problema iniziale? Non ho ben capito cosa devo calcolare...ma ho pensato che V ortogonale fosse formato dai vettori appena calcolati che essere linearmente indipendenti formano una base di V ortogonale...è giusto? Altrimenti cosa si intende per V ortogonale appunto? grazie di nuovo...
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