Esercizio base e nucleo

[giulio013]

Sia $T : R^4 → R^3$ l’applicazione lineare tale che T((1, 1, 0, 0)) = (1, 2, 0), T((0, 1, 1, 0)) = (0, 1, −1),
T((0, 0, 1, 1)) = (1, 1, 1), T((0, 0, 0, 1)) = (0, 0, 0).
(i) Determinare una base di Ker(T) e una base di Im(T).
(ii) Scrivere la matrice associata a T nei riferimenti canonici di $R^4$ e di $R^3$.

Salve sono qui per un confronto e per alcuni dubbi:

(i)Nella traccia mi chiede di studiare la base del nucleo e dell'immagine, ma di quale matrice? Come vedete nella consegna ho i vettori e le loro immagini quindi la matrice da studiare sarebbe questa:

$(( 1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1))$ oppure quest'altra $((1, 2, 0), (0, 1, -1), (1, 1, 1), (0, 0, 0))$ ?

(ii) Quando mi chiede di trascrivere la matrice associata sarebbe come scrivere la matrice in verticale od in orizzontale?

[Bokonon]

Non partire con metodi meccanici, ragiona.
Inizia raccogliendo info sulla applicazione.
Diamo dei nomi ai vettori e alle loro trasformazioni
$v_1=(1, 1, 0, 0)$ $v_2=(0, 1, 1, 0)$ $v_3=(0, 0, 1, 1)$ e $v_4=(0, 0, 0, 1)$
$T(v_1) = (1, 2, 0)$ $T(v_2)=(0, 1, −1)$ $T(v_3) = (1, 1, 1)$ e $T(v_4) = (0, 0, 0)$

Cosa ti dicono i vettori $v_i$?
Hai provato a vedere se sono indipendenti o meno?
Stessa cosa per i vettori $T(v_i)$.
Rispondi alle domande per bene

[giulio013]

il sistema $S = {v_1, v_2, v_3, v_4}$ è costituito solo da vettori linearmente indipendenti, mentre le loro immagini non lo sono.Da questo cosa dovrei capire?

[giovx24]

vedi quanti sono i vettori immagine linearmente indipendenti, così saprai qual è la dimensione dell'immagine