Esercizio Base e Dimensione

[Bombo1]

Ciao ragazzi, ho un problema con un esercizio riguardante le basi.

Siano $ S = {(x, y, z) ∈ R^3| x + 5y − z = 0}, e T = {(x, y, z) ∈ R^3| 5x −y + z = 0}.$
Allora:
(a) trovare una base e la dimensione di $S e T$;
(b) trovare una base e la dimensione di $S ∩ T$;
(c) completare la base di S a una base di $R^3$.

io per la (a) ho fatto cosi:
per S
A=(1 5 -1) y=r; z=s; x=-5r+s
(-5r+s,r,s)=(-5r,r,0)+(s,0,s)
r(-5,1,0)+s(1,0,1)
sono indipendenti quindi B={(-5,1,0),(1,0,1)} dimS=2.

per T
A=(5 -1 1) x=r; z=s; y=-5r+s
(5r,5r+s,s)=r(5,5,0)+s(0,1,1)
sono indipendenti quindi B={(5,5,0),(0,1,1)} dimT=2.

ora per (b)
$S$ $nn$ $T$
${$x+5y-z=0$}$ $((1,5,-1),(5,-1,1))$
${$5x-y+z=0$}$

e mi sono bloccato non so come andare avanti

[stormy1]

scusa,perchè ti sei bloccato ?
devi risolvere il sistema che hai scritto prendendo ad esempio $z$ come incognita libera
in questo modo otterrai soluzioni del tipo $(az,bz,z)=z(a,b,1)$ e $(a,b,1)$ sarà una base del tuo sottospazio

[Bombo1]

mi sono bloccato perchè non so come risolvere il sistema. Non ci arrivo.Come hai fatto?
non è che puoi scrivere il procedimento?

[stormy1]

ti posto il primo passaggio perchè sono sicuro che saprai proseguire
$x=z-5y$
$5(z-5y)-y+z=0$

[garnak.olegovitc1]

@Bombo,

"Bombo":Ciao ragazzi, ho un problema con un esercizio riguardante le basi.
Siano $ S = {(x, y, z) ∈ R^3| x + 5y − z = 0}, e T = {(x, y, z) ∈ R^3| 5x −y + z = 0}.$
Allora:
(a) trovare una base e la dimensione di $S$ e $T$;
(b) trovare una base e la dimensione di $S ∩ T$;
(c) completare la base di S a una base di $R^3$.
io per la (a) ho fatto cosi:
per $S$
$A=(1 5 -1)$ $y=r$; $z=s$; $x=-5r+s $
$(-5r+s,r,s)=(-5r,r,0)+(s,0,s)$
$r(-5,1,0)+s(1,0,1) $
sono indipendenti quindi $B={(-5,1,0),(1,0,1)}$ e $dimS=2$.

per $T$
$A=(5 -1 1)$ $x=r$; $z=s$; $y=-5r+s$
$(5r,5r+s,s)=r(5,5,0)+s(0,1,1)$
sono indipendenti quindi $B={(5,5,0),(0,1,1)}$ $dimT=2$.

ora per $(b) $
$S$ $nn$ $T$
${x+5y-z=0}$ $((1,5,-1),(5,-1,1))$
${5x-y+z=0}$

e mi sono bloccato non so come andare avanti

se ci pensi un attimo quando hai calcolato dimensione di \( S \) e di \( T \) hai in sostanza risolto un sistema lineare (con rispettivamente \(1\) equazione lineare ) ma hai preferito proseguire senza tenerne conto (non sto dicendo che è errato).. E comunque (ti invito a leggere questo topic), il sistema \(\left\{\begin{matrix}
x+5y-z=0\\
5x-y+z=0
\end{matrix}\right.\) avrà certamente rango minore del numero delle incognite \(n=3\) quindi non è di tipo Crameriano ed, essendo lineare omogeneo, il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta.. allora dal teorema di Fontené–Frobenius è "compatibile e indeterminato", o (essendo il rango uguale a \(2\)) avrà \( \infty^{3-2=1}\) soluzioni e quindi \(1\) incognita libera; se scegli come incognita libera \(x\) il sistema diventa: \(\left\{\begin{matrix}
5y-z=-x\\
-y+z=-5x
\end{matrix}\right.\), e stando a quanto detto diventa Crameriano allora applicando la regola di Cramer avrai: $$y=\frac{\det\left ( \begin{Vmatrix}
-x& -1\\
-5x & 1
\end{Vmatrix} \right )}{\det\left ( \begin{Vmatrix}
5& -1\\
-1 & 1
\end{Vmatrix} \right )}=-\frac{3}{2}x \quad \text{ed} \quad z=\frac{\det\left ( \begin{Vmatrix}
5& -x\\
-1 & -5x
\end{Vmatrix} \right )}{\det\left ( \begin{Vmatrix}
5& -1\\
-1 & 1
\end{Vmatrix} \right )}=-\frac{13}{2}x$$ percioò le tue soluzioni saranno del tipo \( (x,-\frac{3}{2}x,-\frac{13}{2}x)\) con \( x \in \Bbb{R}\). Ritornando al sottospazio intersezione avrai \( S \cap T=\{((x,-\frac{3}{2}x,-\frac{13}{2}x)|x \in \Bbb{R}\}\).. Adesso puoi tranquillamente continuare!
Saluti

P.S.=Impara sin da subito ad usare l'apposita codifica in \(\LaTeX\) (CLIC, usa se vuoi anche il link inserito nella mia firma ma non dimenticarti dei delimitatori )

[Bombo1]

Scusate se vi rispondo dopo tutto questo tempo sono stato occupato al lavoro, comunque grazie mille a tutti e due sono riuscito a risolverlo!! grandi !!