[Esercizio] Base di un sottospazio formato da generatori
Buongiorno a tutti,
come da titolo ho un blocco su questo esercizio:
Data \(\displaystyle f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3 \) l'applicazione lineare definita da \(\displaystyle f(x, y, z, t) = (x+y-t, y+2t, z-t) \)
a) determinare la matrice che rappresenta \(\displaystyle f \) rispetto alle basi canoniche
b) determinare una base di \(\displaystyle \operatorname{Ker}f \) e di \(\displaystyle \operatorname{Im}f \)
c) determinare una base del sottospazio \(\displaystyle f(V) \) di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \), dove \(\displaystyle V = \mathcal{L}\{ (1,1,0,2), (2,-3,1,-1) \} \)
i punti a e b non mi hanno dato grossi problemi, ma il punto c mi sta dando qualche grattacapo, nel senso che non so se ciò che ho fatto è corretto (mi sembra troppo semplice).
In sostanza io ho ragionato così: per estrarre la base non devo far altro che trovare l'insieme massimale dei generatori che sono anche linearmente indipendenti, quindi metto in colonna i vettori in una matrice e riduco a scala, osservo il rango e da lì so quanti vettori linearmente indipendenti mi devo prendere dalla matrice non ridotta.
Ovvero, imposto la matrice [tex]A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1 & -3\\ 0 & 1\\ 2 & -1 \end{bmatrix}[/tex] che ridotta a scala mi diventa [tex]A_r = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0 & -5\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}[/tex].
Per cui deduco che il rango è 2, e quindi prendo due vettori colonna dalla matrice \(\displaystyle A \), che sono esattamente i miei due generatori originali \(\displaystyle (1,1,0,2) \) e \(\displaystyle (2,-3,1,-1) \).
E' corretto il ragionamento o fa schifo?
Non abbiate pietà con gli insulti tranquilli, grazie a tutti in anticipo
come da titolo ho un blocco su questo esercizio:
Data \(\displaystyle f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3 \) l'applicazione lineare definita da \(\displaystyle f(x, y, z, t) = (x+y-t, y+2t, z-t) \)
a) determinare la matrice che rappresenta \(\displaystyle f \) rispetto alle basi canoniche
b) determinare una base di \(\displaystyle \operatorname{Ker}f \) e di \(\displaystyle \operatorname{Im}f \)
c) determinare una base del sottospazio \(\displaystyle f(V) \) di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \), dove \(\displaystyle V = \mathcal{L}\{ (1,1,0,2), (2,-3,1,-1) \} \)
i punti a e b non mi hanno dato grossi problemi, ma il punto c mi sta dando qualche grattacapo, nel senso che non so se ciò che ho fatto è corretto (mi sembra troppo semplice).
In sostanza io ho ragionato così: per estrarre la base non devo far altro che trovare l'insieme massimale dei generatori che sono anche linearmente indipendenti, quindi metto in colonna i vettori in una matrice e riduco a scala, osservo il rango e da lì so quanti vettori linearmente indipendenti mi devo prendere dalla matrice non ridotta.
Ovvero, imposto la matrice [tex]A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1 & -3\\ 0 & 1\\ 2 & -1 \end{bmatrix}[/tex] che ridotta a scala mi diventa [tex]A_r = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0 & -5\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}[/tex].
Per cui deduco che il rango è 2, e quindi prendo due vettori colonna dalla matrice \(\displaystyle A \), che sono esattamente i miei due generatori originali \(\displaystyle (1,1,0,2) \) e \(\displaystyle (2,-3,1,-1) \).
E' corretto il ragionamento o fa schifo?
Non abbiate pietà con gli insulti tranquilli, grazie a tutti in anticipo
Risposte
Ciao 
Io direi che il ragionamento è anche giusto, il problema è che l'hai applicato a $V$ e non a $f(V)$! Devi prima calcolare l'immagine dei vettori di $V$ tramite $f$ e poi puoi procedere come hai scritto.
Io direi che il ragionamento è anche giusto, il problema è che l'hai applicato a $V$ e non a $f(V)$! Devi prima calcolare l'immagine dei vettori di $V$ tramite $f$ e poi puoi procedere come hai scritto.
"lukath":
Ciao
Io direi che il ragionamento è anche giusto, il problema è che l'hai applicato a $V$ e non a $f(V)$! Devi prima calcolare l'immagine dei vettori di $V$ tramite $f$ e poi puoi procedere come hai scritto.
Ciao, intanto grazie della risposta
Se ho ben capito quindi
[tex]f(1,1,0,2) = (0,5,-2)[/tex]
[tex]f(2,-3,1,-1) = (0,-1,2)[/tex]
ora metto in matrice i due vettori calcolati
[tex]A = \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 5 & -1\\ -2 & 2 \end{bmatrix}[/tex] che ridotta a scala [tex]A_r = \begin{bmatrix} 5 & -1\\ 0 & \frac{8}{5}\\ 0 & 0 \end{bmatrix}[/tex]
quindi ho rango 2 e prendo due vettori dalla matrice \(\displaystyle A \) che sono esattamente \(\displaystyle (0,5,-2) \) e \(\displaystyle (0,-1,2) \).
Questo intendevi?
"FrancescoS8":
\( f(1,1,0,2) = (0,5,-2) \)
\( f(2,-3,1,-1) = (0,-1,2) \)
Sei sicuro? Ricontrolla i conti ;)
"lukath":
[quote="FrancescoS8"]
\( f(1,1,0,2) = (0,5,-2) \)
\( f(2,-3,1,-1) = (0,-1,2) \)
Sei sicuro? Ricontrolla i conti ;)[/quote]
Uhm, a me sembrano corretti...
Il problema sta nei conti fatti per trovare f(V).
F(1,1,0,2)=(0,5,-2) F(2,-3,1,-1)=(0,-5,2)
Controlla bene e mi darai ragione! Ora prova a continuare tu trovando, con questi vettori, la base di F(V). È abbastanza evidente.. Se ci sono problemi, chiedi pure..
F(1,1,0,2)=(0,5,-2) F(2,-3,1,-1)=(0,-5,2)
Controlla bene e mi darai ragione! Ora prova a continuare tu trovando, con questi vettori, la base di F(V). È abbastanza evidente.. Se ci sono problemi, chiedi pure..
"Sergio":
[quote="FrancescoS8"][tex]f(2,-3,1,-1) = (0,-1,2)[/tex]
\(f(2,-3,1,-1)=(0,-5,2)\)
[/quote]OMG, io mi ostinavo a guardare \(\displaystyle z \), sono proprio cotto stamattina
Grazie mille
"Guendalina95":
Il problema sta nei conti fatti per trovare f(V).
F(1,1,0,2)=(0,5,-2) F(2,-3,1,-1)=(0,-5,2)
Controlla bene e mi darai ragione! Ora prova a continuare tu trovando, con questi vettori, la base di F(V). È abbastanza evidente.. Se ci sono problemi, chiedi pure..
Si infatti sbagliavo un conto grazie
A questo punto la base contiene un solo vettore linearmente indipendente e prendo uno qualsiasi dei due, tipo \(\displaystyle (0,5,-2) \) giusto?
Esatto, uno a caso dei due va bene
Esercizio risolto, un grazie infinito a lukath, Sergio e Guendalina95! 
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