Esercizio base di topologia (dubbio)
"Sia $E$ un sottoinsieme di $\mathbb{R}^2$ definito così:
$\bigcap_(n\in\mathbb{N}) E_n$ con $E_n : = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 : |x| <= 2 - 1/n, x^2 + y^2 <= 4}$.
$E$ è un compatto non vuoto?"
Ho qualche perplessita sulla prima condizione, quella con il modulo di x. Mi spiego: lo spazio dentro cui sono ospitati tutti gli $E_n$ mi sembra sia il cerchio centrato nell'origine, di raggio 2.
Per $n=1$ la prima condizione impone che si possano prendere tutti i valori NELLA porzione di cerchio delimitata:
a sinistra da $x=-(2-(1/n))$, a destra da $x=+(2-(1/n))$.
Dato che mi viene chiesta l'intersezione dei vari $E_n$, l'unico punto comune al variare di $n$ è il punto 2, in alto, sulla circonferenza. 2 è punto d'accumulazione per ogni $E_n$, ed essendo l'unico punto in $E$, fa di E un insieme limitato. Per Heine-Borel, dovrei poter concludere che E sia compatto.
Ma questo solo se ho inteso la prima condizione in modo corretto.
$\bigcap_(n\in\mathbb{N}) E_n$ con $E_n : = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 : |x| <= 2 - 1/n, x^2 + y^2 <= 4}$.
$E$ è un compatto non vuoto?"
Ho qualche perplessita sulla prima condizione, quella con il modulo di x. Mi spiego: lo spazio dentro cui sono ospitati tutti gli $E_n$ mi sembra sia il cerchio centrato nell'origine, di raggio 2.
Per $n=1$ la prima condizione impone che si possano prendere tutti i valori NELLA porzione di cerchio delimitata:
a sinistra da $x=-(2-(1/n))$, a destra da $x=+(2-(1/n))$.
Dato che mi viene chiesta l'intersezione dei vari $E_n$, l'unico punto comune al variare di $n$ è il punto 2, in alto, sulla circonferenza. 2 è punto d'accumulazione per ogni $E_n$, ed essendo l'unico punto in $E$, fa di E un insieme limitato. Per Heine-Borel, dovrei poter concludere che E sia compatto.
Ma questo solo se ho inteso la prima condizione in modo corretto.
Risposte
Se ho visto giusto, quell'intersezione non è altri che \(E_1\)! Fai un disegno e concludi. 
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