Esercizio autovettori ortonormali
Salve a tutti..
Ho il seguente esercizio:
Determinare una base ortonormale di autovettori della matrice
A: 1 0 -1
0 2 0
-1 0 1
Come posso risolvere questo esercizio?
Ho il seguente esercizio:
Determinare una base ortonormale di autovettori della matrice
A: 1 0 -1
0 2 0
-1 0 1
Come posso risolvere questo esercizio?
Risposte
Da quanto ho letto su internet, poichè la matrice è simmetrica, per il teoremaettrale (in forma matriciale), i vettori nascono già ortogonali e per trovare i vettori ortonormali basta dividerli per la loro norma.
Io ho ottenuto come autovettori 0 con molteplicità algebrica uno, e 2 con molteplicità algebrica due.
E come autovettori ho ottenuto (1,0,1) relativamente all'autovalore 0, e (1,0,-1),(2,0,-2) relativamente all'autovalore 2.
Di conseguenza gli autovettori ortonormali dovrebbero essere (1,0,1)/ radice2 e (1,0,-1)/ radice2 e (2,0,-2)/ 2radice2.
Vi sembra corretto??
Io ho ottenuto come autovettori 0 con molteplicità algebrica uno, e 2 con molteplicità algebrica due.
E come autovettori ho ottenuto (1,0,1) relativamente all'autovalore 0, e (1,0,-1),(2,0,-2) relativamente all'autovalore 2.
Di conseguenza gli autovettori ortonormali dovrebbero essere (1,0,1)/ radice2 e (1,0,-1)/ radice2 e (2,0,-2)/ 2radice2.
Vi sembra corretto??
"sangi89":
Da quanto ho letto su internet, poichè la matrice è simmetrica, per il teoremaettrale (in forma matriciale), i vettori nascono già ortogonali e per trovare i vettori ortonormali basta dividerli per la loro norma.
Io ho ottenuto come autovettori 0 con molteplicità algebrica uno, e 2 con molteplicità algebrica due.
E come autovettori ho ottenuto (1,0,1) relativamente all'autovalore 0, e (1,0,-1),(2,0,-2) relativamente all'autovalore 2.
Di conseguenza gli autovettori ortonormali dovrebbero essere (1,0,1)/ radice2 e (1,0,-1)/ radice2 e (2,0,-2)/ 2radice2.
Vi sembra corretto??
No. Infatti gli autovettori che consideri non sono una base di $RR^3$ (suppongo tu stia considerando questo spazio vettoriale). Hai che $2 ( 1 , 0 , - 1) = (2 , 0 , -2 )$.
mmmmm e quindi come dovrei fare?
Riporta sul forum il procedimento con cui hai calcolato gli autovalori e i relativi autovettori e autospazi.
scusate avevo sbagliato i calcoli..
allora:
per calcolare gli autovalori calcolo il determinante della seguente matrice:
$((1-a,0,-1),(0,2-a,0),(-1,0,1-a))$
ed ottengo: $a$$(a^2-2)$
quindo ho autovalori $a=2$ e $a=+sqrt(2)$ e $a=-sqrt(2)$
adesso calcolo gli autovettori
autovettori relativi a $a=2$
$(A-2I)$$((x),(y),(z))$=$((0),(0),(0))$
$((-1,0,-1),(0,0,0),(-1,0,-1))$$((x),(y),(z))$=$((0),(0),(0))$
quindi ottengo:
$-x-z=0$ $\Rightarrow$ $z=-x$
ponendo $x=1$ ottengo l'autovettore $(1,0,-1)$
Analogamente per gli altri autovalori:
autovettori relativi a $a=+sqrt(2)$
$(A-sqrt(2)I)$$((x),(y),(z))$=$((0),(0),(0))$
$((-1-sqrt(2),0,-1),(0,2-sqrt(2),0),(-1,0,1-sqrt(2)))$$((x),(y),(z))$=$((0),(0),(0))$
quindi ottengo:
$(-1-sqrt(2))x-z=0$
$(2-sqrt(2))y=0$
$-x+(-1-sqrt(2))z=0$
$\Rightarrow$
$z=x(-1-sqrt(2))$
$y=0$
ponendo $x=1$ ottengo l'autovettore $(1,0,-1-sqrt(2))$
autovettori relativi a $a=-sqrt(2)$
$(A-(-sqrt(2))I)$$((x),(y),(z))$=$((0),(0),(0))$
$((-1+sqrt(2),0,-1),(0,2+sqrt(2),0),(-1,0,1+sqrt(2)))$$((x),(y),(z))$=$((0),(0),(0))$
quindi ottengo:
$(-1+sqrt(2))x-z=0$
$(2+sqrt(2))y=0$
$-x+(-1+sqrt(2))z=0$
$\Rightarrow$
$z=x(-1+sqrt(2))$
$y=0$
ponendo $x=1$ ottengo l'autovettore $(1,0,-1+sqrt(2))$
a questo punto calcolo la norma dei vettori per trovare i vettori ortonormali
la norma dell'autovettore relativo a $a=2$ è $sqrt(1+1)=sqrt(2)$
quindi l'autovettore ortonormale relativo a e $a=2$ è $(1,0,-1)*1/sqrt(2)$
la norma dell'autovettore relativo a $a=+sqrt2$ è $sqrt(1+1+2+2sqrt(2))=sqrt(4+sqrt2)$
quindi il'autovettore ortonormale relativo a e $a=2$ è $(1,0,-1-sqrt(2))*1/sqrt(4+sqrt2)$
la norma dell'autovettore relativo a $a=-sqrt2$ è $sqrt(1+1+2-2sqrt(2))=sqrt(4-sqrt2)$
quindi il'autovettore ortonormale relativo a e $a=2$ è $(1,0,-1+sqrt(2))*1/sqrt(4-sqrt2)$
allora:
per calcolare gli autovalori calcolo il determinante della seguente matrice:
$((1-a,0,-1),(0,2-a,0),(-1,0,1-a))$
ed ottengo: $a$$(a^2-2)$
quindo ho autovalori $a=2$ e $a=+sqrt(2)$ e $a=-sqrt(2)$
adesso calcolo gli autovettori
autovettori relativi a $a=2$
$(A-2I)$$((x),(y),(z))$=$((0),(0),(0))$
$((-1,0,-1),(0,0,0),(-1,0,-1))$$((x),(y),(z))$=$((0),(0),(0))$
quindi ottengo:
$-x-z=0$ $\Rightarrow$ $z=-x$
ponendo $x=1$ ottengo l'autovettore $(1,0,-1)$
Analogamente per gli altri autovalori:
autovettori relativi a $a=+sqrt(2)$
$(A-sqrt(2)I)$$((x),(y),(z))$=$((0),(0),(0))$
$((-1-sqrt(2),0,-1),(0,2-sqrt(2),0),(-1,0,1-sqrt(2)))$$((x),(y),(z))$=$((0),(0),(0))$
quindi ottengo:
$(-1-sqrt(2))x-z=0$
$(2-sqrt(2))y=0$
$-x+(-1-sqrt(2))z=0$
$\Rightarrow$
$z=x(-1-sqrt(2))$
$y=0$
ponendo $x=1$ ottengo l'autovettore $(1,0,-1-sqrt(2))$
autovettori relativi a $a=-sqrt(2)$
$(A-(-sqrt(2))I)$$((x),(y),(z))$=$((0),(0),(0))$
$((-1+sqrt(2),0,-1),(0,2+sqrt(2),0),(-1,0,1+sqrt(2)))$$((x),(y),(z))$=$((0),(0),(0))$
quindi ottengo:
$(-1+sqrt(2))x-z=0$
$(2+sqrt(2))y=0$
$-x+(-1+sqrt(2))z=0$
$\Rightarrow$
$z=x(-1+sqrt(2))$
$y=0$
ponendo $x=1$ ottengo l'autovettore $(1,0,-1+sqrt(2))$
a questo punto calcolo la norma dei vettori per trovare i vettori ortonormali
la norma dell'autovettore relativo a $a=2$ è $sqrt(1+1)=sqrt(2)$
quindi l'autovettore ortonormale relativo a e $a=2$ è $(1,0,-1)*1/sqrt(2)$
la norma dell'autovettore relativo a $a=+sqrt2$ è $sqrt(1+1+2+2sqrt(2))=sqrt(4+sqrt2)$
quindi il'autovettore ortonormale relativo a e $a=2$ è $(1,0,-1-sqrt(2))*1/sqrt(4+sqrt2)$
la norma dell'autovettore relativo a $a=-sqrt2$ è $sqrt(1+1+2-2sqrt(2))=sqrt(4-sqrt2)$
quindi il'autovettore ortonormale relativo a e $a=2$ è $(1,0,-1+sqrt(2))*1/sqrt(4-sqrt2)$
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