Esercizio autovalori autovettori

[Anna.interfree]

Potreste aiutarmi descrivendomi il procedimento per questo esercizio?
sia A la matrice
(6,0,2)
(1,4,1)
(0,0,4)
indicare
-autovalori di A con molteplicita' algebrica
-autospazi di A con basi e dimensioni
-forma diagonale D che rappresenti A
-matrice diagonalizzante relativa a D

Grazie anticipatamente
Ciao ANNA

[miles_davis1]

Se la matrice A è associata ad un operatore lineare rispetto alla base canonica il procedimento è questo:

1) Per trovare gli autovalori devi sottrarre $x$ agli elementi della diagonale e calcolare il determinante della matrice così ottenuta (polinomio caratteristico). Le radici del polinomio caratteristico sono gli autovalori.
Se sviluppi con Laplace rispetto all'ultima riga hai
p(x)=(4-x)(6-x)(4-x), quindi gli autovalori sono:
6 con molteplicità alg. 1
4 con molteplicità alg.2

2)Per calcolarti gli autospazi puoi sottrarre 4 (e poi 6) ai termini sulla diagonale di A e calcolare il nucleo della matrice così ottenuta (un semplice sistema omogeneo). Il nucleo sarà l'autospazio relativo all'autovalore che hai sottratto ai termini sulla diagonale, quindi una volta calcolato saprai basi e dimensioni dei due autospazi (per quello relativo all'autovalore 6 sai che ha dim=1 perchè ogni autovalore ha almeno un autovettore associato ed in numero gli autovettori sono sempre minori della molteplicità algebrica dell'autovalore considerato!)

3)Una volta che ti sei accertata che l'autospazio relativo all'autovalore 4 ha dim=2, sai che la matrice è diagonalizzabile e D diagonale è della forma
( 4 0 0 )
( 0 4 0 )
( 0 0 6 )
a meno dell'ordine degli elementi sulla diagonale

4)La matrice diagonalizzante è quella che ha per colonne le coordinate degli autovettori rispetto alla base canonica (e quindi, se consideri di essere in R4, i vettori stessi!!!)

Spero di esserti stato d'aiuto.
Ciao. Miles Davis.

[Anna.interfree]

ti ringrazio
Ciao Anna