Esercizio applicazioni lineari,problema su una parte dell'es
Ciao a tutti, ho un piccolo dubbio a un certo punto di un esercizio sulle trasformazioni lineari, ora scrivo l'esercizio e poi lo risolvo fino al punto che trovo difficoltà cosi capite meglio:
T: R^3 --> R^3
di matrice A
$((2,1,-3),(1,3,4),(0,5,11))$
Determinare la dimensione e una base per i sottospazi Ker(T) e Im(T).Inoltre verificare che il vettore v(1,-2,-5) $in$ Im(T), scrivere le coordinate di v nella base trovata per Im(T).
Allora, per trovare la dimensione di Im riduco la matrice A fino ad avere $((2,1,-3),(0,5,11),(0,0,0))$ il rg della matrice è 2 quindi la dimensione di Im è 2, e una base per Im la ottengo dai vettori linearmente indipendenti, quindi ho messo come base {(2,1,-3)(0,5,11)}
Per trovare la dimensione di Ker sottraggo alla dimensione della trasformazione quella di Im, quindi dim di ker= 1
la base di ker la ottengo dal sistema: $\{(2x + y - 3z = 0),(x + 3y + 4z = 0),(5y + 11z = 0):}$
e quindi (13/5,-11/5,1)
1) sino a qui sbaglio qualcosa?
2)ora l'unica idea che mi viene in mente per scrivere le coordinate di v nella base trovata per Im(T). è questa:
(1,-2,-5) = x(2,1,-3)+y(0,5,11)+z(0,0,0) <---- la base (0,0,0) è il mio dubbio, se avevo una base con 3 vettori la mettevo a z, ma qui non so come fare
facendo i calcoli però il sistema che ne esce non è giusto, non mi tornano valori unici per soddisfare 3 equazioni con 2 incognite...e per il fatto di verificare che il vettore v(1,-2,-5) $in$ Im(T) non ho la più pallida idea di come agire...
Spero qualcuno possa chiarirmi qualche dubbio, in ogni caso ringrazio tutti anticipatamente
Daniele,
T: R^3 --> R^3
di matrice A
$((2,1,-3),(1,3,4),(0,5,11))$
Determinare la dimensione e una base per i sottospazi Ker(T) e Im(T).Inoltre verificare che il vettore v(1,-2,-5) $in$ Im(T), scrivere le coordinate di v nella base trovata per Im(T).
Allora, per trovare la dimensione di Im riduco la matrice A fino ad avere $((2,1,-3),(0,5,11),(0,0,0))$ il rg della matrice è 2 quindi la dimensione di Im è 2, e una base per Im la ottengo dai vettori linearmente indipendenti, quindi ho messo come base {(2,1,-3)(0,5,11)}
Per trovare la dimensione di Ker sottraggo alla dimensione della trasformazione quella di Im, quindi dim di ker= 1
la base di ker la ottengo dal sistema: $\{(2x + y - 3z = 0),(x + 3y + 4z = 0),(5y + 11z = 0):}$
e quindi (13/5,-11/5,1)
1) sino a qui sbaglio qualcosa?
2)ora l'unica idea che mi viene in mente per scrivere le coordinate di v nella base trovata per Im(T). è questa:
(1,-2,-5) = x(2,1,-3)+y(0,5,11)+z(0,0,0) <---- la base (0,0,0) è il mio dubbio, se avevo una base con 3 vettori la mettevo a z, ma qui non so come fare
facendo i calcoli però il sistema che ne esce non è giusto, non mi tornano valori unici per soddisfare 3 equazioni con 2 incognite...e per il fatto di verificare che il vettore v(1,-2,-5) $in$ Im(T) non ho la più pallida idea di come agire...
Spero qualcuno possa chiarirmi qualche dubbio, in ogni caso ringrazio tutti anticipatamente
Daniele,
Risposte
1) OK 
2) In quanto $dimImf=2$ ti servono 2 coordinate per rappresentare $(1;-2;-5)$ secondo una sua base; ti ricordo che per il teorema d'isomorfismo tra spazi vettoriali su un medesimo campo: $Imf$ è isomorfo ad $\mathbb{R}^2$.
2bis) $\underline0$ non è il vettore di nessuna base; attenzione -_-, per cui non lo si utilizza per rappresentare chicchesia!
2) In quanto $dimImf=2$ ti servono 2 coordinate per rappresentare $(1;-2;-5)$ secondo una sua base; ti ricordo che per il teorema d'isomorfismo tra spazi vettoriali su un medesimo campo: $Imf$ è isomorfo ad $\mathbb{R}^2$.
2bis) $\underline0$ non è il vettore di nessuna base; attenzione -_-, per cui non lo si utilizza per rappresentare chicchesia!
Grazie mille per aver risposto!
quindi se mi servono due coordinate perchè la dimensione è due, "mollo la z" e diventa (1,-2,-5) = x(2,1,-3)+y(0,5,11) ? =( però nn mi torna lo stesso...non credo di averti capito..
se non è chiedere troppo puoi farmi l'esempio con i numeri? solo l'impostazione, poi lo capisco subito ...nn capisco che ragionamento devo utilizzare per rispondere a quelle due domande...sto impazzendo!!!!
"j18eos":
1) OK
2) In quanto $dimImf=2$ ti servono 2 coordinate per rappresentare $(1;-2;-5)$ secondo una sua base; ti ricordo che per il teorema d'isomorfismo tra spazi vettoriali su un medesimo campo: $Imf$ è isomorfo ad $\mathbb{R}^2$.
quindi se mi servono due coordinate perchè la dimensione è due, "mollo la z" e diventa (1,-2,-5) = x(2,1,-3)+y(0,5,11) ? =( però nn mi torna lo stesso...non credo di averti capito..
se non è chiedere troppo puoi farmi l'esempio con i numeri? solo l'impostazione, poi lo capisco subito ...nn capisco che ragionamento devo utilizzare per rispondere a quelle due domande...sto impazzendo!!!!
Ma hai verificato che $(1;-2;5)\in Imf$? Io non l'ho fatto! Se no il problema l'avresti risolto 
altrimenti si continuerebbe...
altrimenti si continuerebbe...
"j18eos":
Ma hai verificato che $(1;-2;5)\in Imf$? Io non l'ho fatto! Se no il problema l'avresti risolto
Nn so come verificarlo...
Devi risolvere il sistema con matrice completa quella data (non conosco il codice TeX) con vettori dei termini dati proprio quello che hai e cioé $(1;-2;5)$
Grazie mille!!! 
Scusate se intervengo. Non ho letto tutto il thread, ma qui si sta commettendo qualche errore.
La teoria dice che data un'applicazione lineare $T:RR^3\to RR^3$ un sistema di generatori di $Im(T)$ è dato da $T(e_1),T(e_2),T(e_3)$ da cui eventualmente se ne può estrarre una base (dove $e_1,e_2,e_3$ è una base di $RR^3$, per esempio scegliamo la base canonica).
In questo caso le immagini di $e_1,e_2,e_3$ sono le colonne della matrice $A$ e non le righe!
La teoria dice che data un'applicazione lineare $T:RR^3\to RR^3$ un sistema di generatori di $Im(T)$ è dato da $T(e_1),T(e_2),T(e_3)$ da cui eventualmente se ne può estrarre una base (dove $e_1,e_2,e_3$ è una base di $RR^3$, per esempio scegliamo la base canonica).
In questo caso le immagini di $e_1,e_2,e_3$ sono le colonne della matrice $A$ e non le righe!
si ma rispetto alla base canonica torna come se le stessi scrivendo in riga...
Beh, no.
Prendi ad esempio l'applicazione lineare $T:RR^2\to RR^2$ che ha matrice associata $((1,0),(1,0))$ rispetto alla base canonica.
Una base dell'immagine è ovviamente formata dal vettore $(1,1)$.
E il vettore $(1,0)$ è base di un sottospazio totalmente diverso!
Prendi ad esempio l'applicazione lineare $T:RR^2\to RR^2$ che ha matrice associata $((1,0),(1,0))$ rispetto alla base canonica.
Una base dell'immagine è ovviamente formata dal vettore $(1,1)$.
E il vettore $(1,0)$ è base di un sottospazio totalmente diverso!
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