Esercizio applicazioni lineari con parametro
salve gente, tra un po di giorni ho esami, ma questa parte è l'unica che non ho per niente capito..avrei bisogno di qualche aiuto se possibile... l'esercizio dice questo:
è dato l'endomorfismo f:R³->R³ definito dalle relazioni:
f(1,0,0)=(2,0,0),
f(0,2,1)=(-1,h,1),
f(1,0,1)=(0,1,1).
1.Studiare f al variare di h determinando in ciascun caso Imf e Kerf.
2.Nel caso h=0 trovare la matrice associata a f rispetto alle basi canoniche e eventualmente una base di autovettori
l'unica cosa che sono riuscito a fare guardando un esempio già svolto è stato di costruire la matrice
$((2,1/2,-2),(0,(h-1)/2,1),(0,0,1))$
qualcuno potrebbe spiegarmi il resto?
è dato l'endomorfismo f:R³->R³ definito dalle relazioni:
f(1,0,0)=(2,0,0),
f(0,2,1)=(-1,h,1),
f(1,0,1)=(0,1,1).
1.Studiare f al variare di h determinando in ciascun caso Imf e Kerf.
2.Nel caso h=0 trovare la matrice associata a f rispetto alle basi canoniche e eventualmente una base di autovettori
l'unica cosa che sono riuscito a fare guardando un esempio già svolto è stato di costruire la matrice
$((2,1/2,-2),(0,(h-1)/2,1),(0,0,1))$
qualcuno potrebbe spiegarmi il resto?
Risposte
Ciao, studiare il $Ker f$ significa studiare il sistema omogeneo che ha quella matrice come incompleta. Dovrai quindi studiare il rango, ecc.
Per l'$Im f$ dobbiamo vedere quali sono i vettori \(\left(\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}\right)\) che rendono risolvibile il sistema che ha come matrice associata$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & \frac{1}{2} & -2 & a \\
0 & \frac{h-1}{2} & 1 & b \\
0 & 0 & 1 & c
\end{array}\right)
$$
Nel caso $h=0$ dovrai solo sostituire nella matrice che hai già trovato e fare i calcoli.
Piccola ma importante osservazione: il rango della matrice$$
\left(\begin{array}{ccc}
2 & \frac{1}{2} & -2 \\
0 & \frac{h-1}{2} & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$ può essere solo $2$ o $3$ visto che si nota il minore $((2, -2), (0, 1))$ che è sempre invertibile. Quindi il rango sarà deciso dal determinante, che vale $(h-1)$.
Per l'$Im f$ dobbiamo vedere quali sono i vettori \(\left(\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}\right)\) che rendono risolvibile il sistema che ha come matrice associata$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & \frac{1}{2} & -2 & a \\
0 & \frac{h-1}{2} & 1 & b \\
0 & 0 & 1 & c
\end{array}\right)
$$
Nel caso $h=0$ dovrai solo sostituire nella matrice che hai già trovato e fare i calcoli.
Piccola ma importante osservazione: il rango della matrice$$
\left(\begin{array}{ccc}
2 & \frac{1}{2} & -2 \\
0 & \frac{h-1}{2} & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$ può essere solo $2$ o $3$ visto che si nota il minore $((2, -2), (0, 1))$ che è sempre invertibile. Quindi il rango sarà deciso dal determinante, che vale $(h-1)$.
quindi per ordine, ho la matrice associata
1.mi calcolo kerf e imf al variare di h
2.nel caso h=0, sostituisco lo 0 ad h nella matrice e cerco una base di autovettori(che non so fare)
giusto?
1.mi calcolo kerf e imf al variare di h
2.nel caso h=0, sostituisco lo 0 ad h nella matrice e cerco una base di autovettori(che non so fare)
giusto?
"blastor":
quindi per ordine, ho la matrice associata
1.mi calcolo kerf e imf al variare di h
2.nel caso h=0, sostituisco lo 0 ad h nella matrice e cerco una base di autovettori(che non so fare)
giusto?
grazie, due minuti posto i risultati e vediamo se va tutto bene
vediamo un po...
determinante:
$h-1=0 h=1$
Dim imf=2,
Dim kerf=1
ora mi calcolo il sistema
${(2x+1/2y-2z=0),(z=0),(z=0)}$
il risultato viene Kerf rispetto ad x (x,-4x,0)
rispetto a y(-1/4y,y,0)
per il kerf sono apposto?
passo successivo imf, prendo le colonne dove vi erano le colonne speciali $(2,0,0) e (-2,1,1)
ho trovato una traccia dell'esercizio svolto da un mio collega e per il primo punto si ferma qui...è corretto?
determinante:
$h-1=0 h=1$
Dim imf=2,
Dim kerf=1
ora mi calcolo il sistema
${(2x+1/2y-2z=0),(z=0),(z=0)}$
il risultato viene Kerf rispetto ad x (x,-4x,0)
rispetto a y(-1/4y,y,0)
per il kerf sono apposto?
passo successivo imf, prendo le colonne dove vi erano le colonne speciali $(2,0,0) e (-2,1,1)
ho trovato una traccia dell'esercizio svolto da un mio collega e per il primo punto si ferma qui...è corretto?
"blastor":
vediamo un po...
determinante:
$h-1=0 h=1$
Dim imf=2,
Dim kerf=1
ora mi calcolo il sistema
${(2x+1/2y-2z=0),(z=0),(z=0)}$
il risultato viene Kerf rispetto ad x (x,-4x,0)
rispetto a y(-1/4y,y,0)
per il kerf sono apposto?
Ti basta risolverlo rispetto a un parametro, ad esempio $x$. Il vettore delle soluzioni sarà$$
\left(\begin{matrix}
x\\-4x\\0
\end{matrix}\right) = x\left(\begin{matrix}
1\\-4\\0
\end{matrix}\right)
$$e questa è una base del $Ker f$. Poi ti resta da analizzare il caso $h \ne 1$ che mi sembra tu non abbia fatto.
per $h!=1$ poniamo $h=0$ così ci portiamo avanti anche con il secondo punto
a questo punto Dim imf=3, Dimkerf=3-3=0
base imf=$(2,0,0),(1/2,-1/2,0),(-2,1,1)$ (prendo le colonne con gli elementi speciali giusto?)
per quanto riguarda il $kerf=(0,0,0)
a questo punto credo machi solo la base di autovettori giusto?
per imf con h=1 invece devo prendere solo le colonne dove vi sono gli elmenti speciali della matrice?
a questo punto Dim imf=3, Dimkerf=3-3=0
base imf=$(2,0,0),(1/2,-1/2,0),(-2,1,1)$ (prendo le colonne con gli elementi speciali giusto?)
per quanto riguarda il $kerf=(0,0,0)
a questo punto credo machi solo la base di autovettori giusto?
per imf con h=1 invece devo prendere solo le colonne dove vi sono gli elmenti speciali della matrice?
"blastor":
per imf con h=1 invece devo prendere solo le colonne dove vi sono gli elmenti speciali della matrice?
Se $h=1$ la matrice prende la seguente forma$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
2&\frac{1}{2}&-2&a\\0&0&1&b\\0&0&1&c
\end{array}\right)
$$Noi ci stiamo chiedendo quali sono i vettori \(\left(\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}\right)\) che rendono il sistema risolvibile. L'incompleta ha rango $2$ grazie al minore $((2, -2), (0, 1))$, quindi vogliamo che anche la completa abbia rango $2$. Orliamo il minore precedente e otteniamo$$
\left(\begin{matrix}
2&-2&a\\0&1&b\\0&1&c
\end{matrix}\right)
$$Imponiamo che il determinante sia nullo:$$
2(c-b) = 0 \Rightarrow c=b
$$Quindi il vettore richiesto avrà la seguente forma:$$
\left(\begin{matrix}a\\b\\b\end{matrix}\right) =
a\left(\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right) +
b\left(\begin{matrix}0\\1\\1\end{matrix}\right)
$$In conclusione una base per l'immagine è$$
\left\{
\left(\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right), \ \left(\begin{matrix}0\\1\\1\end{matrix}\right)
\right\}
$$
"blastor":
a questo punto Dim imf=3
base imf=$(2,0,0),(1/2,-1/2,0),(-2,1,1)$ (prendo le colonne con gli elementi speciali giusto?)
Dato che la dimensione dell'immagine è $3$ e che stiamo parlando di vettori a tre componenti, l'immagine coincide con $\mathbb{R}^{3}$
A questo punto puoi prendere come base direttamente quella canonica.
non so come ringraziarti...finalmente sto capendo questa parte..mi manca solo gli eventuali autovettori con h=0, li svolgo e posto così vediamo se ho fatto bene..
creo la matrice $P(lambda) = Det(A-lambda*I)$
$((2-lambda,1/2,-2),(0,-1/2-lambda,1),(0,0,1-lambda))=(2-lambda)(-1/2-lambda)(1-lambda)$
ne segue che $lambda=2, lambda=-1/2,lambda=1$
ne segue che è un endomorfismo semplice perchè le soluzioni sono indipendenti...se fossero dipendeti cosa dovrei fare?
qui ho finito l'esercizio?
$((2-lambda,1/2,-2),(0,-1/2-lambda,1),(0,0,1-lambda))=(2-lambda)(-1/2-lambda)(1-lambda)$
ne segue che $lambda=2, lambda=-1/2,lambda=1$
ne segue che è un endomorfismo semplice perchè le soluzioni sono indipendenti...se fossero dipendeti cosa dovrei fare?
qui ho finito l'esercizio?
Quelli che hai trovato così sono gli autovalori. Gli autovettori si trovano cercando il $Ker$ dell'applicazione lineare che ha come matrice $A-\lambda I$ dove a $\lambda$ vai a sostituire l'autovalore che stai considerando, cioè risolvendo il sistema omogeneo associato a tale matrice.
quindi per calcolarmi un autovettore prendo uno dei tre parametri, lo sostituisco a $lambda$ nella matrice e mi calcolo il $ker$ fine?
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