Esercizio applicazioni lineari
Buongiorno ragazzi ho questo esercizio sulle applicazioni lineari e non comprendo come ragionare
Sia $ L:R^3rarr R^2 $ un applicazione lineare tale che $ L( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) = ( ( 1 ),( 1 ) ) $ e $ L( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) = ( ( 2 ),( 2 ) ) $. Quali affermazioni sono necessariamente vere?
- $ L $ non è suriettiva
- $ Ker(L) = span( (-1),(1),(1) ) $
- $( (1),(-1),(-1) ) in Ker(L) $ (VERO)
- $ span( (1),(1) ) sub Im(L) $ (VERO)
grazie!
Sia $ L:R^3rarr R^2 $ un applicazione lineare tale che $ L( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) = ( ( 1 ),( 1 ) ) $ e $ L( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) = ( ( 2 ),( 2 ) ) $. Quali affermazioni sono necessariamente vere?
- $ L $ non è suriettiva
- $ Ker(L) = span( (-1),(1),(1) ) $
- $( (1),(-1),(-1) ) in Ker(L) $ (VERO)
- $ span( (1),(1) ) sub Im(L) $ (VERO)
grazie!
Risposte
Contro domanda: sai calcolare il nucleo di questa applicazione lineare?
"j18eos":
Contro domanda: sai calcolare il nucleo di questa applicazione lineare?
Se non vado errato dovrei mettere a sistema la matrice che definisce l'applicazione lineare con il vettore nullo $ 0_3 $. Il nucleo di un applicazione lineare è definito come $ Ker(F)= {v in V : L(v)=0}$ con $v $ elementi di $R^3$. Come posso trovare la matrice associata?
...giustamente manca un vettore per definire univocamente \(L\). 
Cambio di strategia: prova a rispondere trovando degli esempi!
Suggerimento: completa la base di \(\displaystyle\mathbb{R}^3\) come ti pare, e vedi un po'.
Cambio di strategia: prova a rispondere trovando degli esempi!
Suggerimento: completa la base di \(\displaystyle\mathbb{R}^3\) come ti pare, e vedi un po'.
"j18eos":
...giustamente manca un vettore per definire univocamente \(L\).
Posso proporre una strategia "globale"?
Sì, l'ho proposta anch'io 
se ci fai caso!
se ci fai caso!
@Armando
Anch'io l'ho risolto ad occhio usando un paio di esempi ad hoc
Però volevo fornire un'alternativa più "meccanica" al nostro OP.
@Sacio
La matrice rappresentativa della nostra applicazione avrà due righe e tre colonne: chiamiamola $A_(2xx3)$
Da ipotesi sappiamo che manda il vettore (1,0,0) in (1,1), pertanto la prima colonna di A è appunto (1,1).
Sempre dalle ipotesi deduciamo che $L(1,1,1)-L(1,0,0)=L[(1,1,1)-(1,0,0)]=L(0,1,1)=(2,2)-(1,1)=(1,1)$
Da cui deduciamo che $L(0,1,1)=L[(0,1,0)+(0,0,1)]=L(0,1,0)+L(0,0,1)=(1,1)=(alpha,beta)+(1-alpha,1-beta)$
Quindi adesso conosciamo dove L manda gli altri due vettori della base canonica e saranno la seconda e terza colonna di A.
Pertanto abbiamo che l'intera classe delle applicazioni L che soddisfano le nostre ipotesi è rappresentata da:
$ A=( ( 1 , alpha , 1-alpha ),( 1 , beta , 1-beta ) ) $ con $alpha,beta in RR$
Ora puoi studiare come varia il kernel al variare dei parametri e rispondere alle domande.
Anch'io l'ho risolto ad occhio usando un paio di esempi ad hoc
Però volevo fornire un'alternativa più "meccanica" al nostro OP.
@Sacio
La matrice rappresentativa della nostra applicazione avrà due righe e tre colonne: chiamiamola $A_(2xx3)$
Da ipotesi sappiamo che manda il vettore (1,0,0) in (1,1), pertanto la prima colonna di A è appunto (1,1).
Sempre dalle ipotesi deduciamo che $L(1,1,1)-L(1,0,0)=L[(1,1,1)-(1,0,0)]=L(0,1,1)=(2,2)-(1,1)=(1,1)$
Da cui deduciamo che $L(0,1,1)=L[(0,1,0)+(0,0,1)]=L(0,1,0)+L(0,0,1)=(1,1)=(alpha,beta)+(1-alpha,1-beta)$
Quindi adesso conosciamo dove L manda gli altri due vettori della base canonica e saranno la seconda e terza colonna di A.
Pertanto abbiamo che l'intera classe delle applicazioni L che soddisfano le nostre ipotesi è rappresentata da:
$ A=( ( 1 , alpha , 1-alpha ),( 1 , beta , 1-beta ) ) $ con $alpha,beta in RR$
Ora puoi studiare come varia il kernel al variare dei parametri e rispondere alle domande.
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