Esercizio applicazioni lineari
Salve vorrei proporre un altro esercizio sulle applicazioni lineari 
Riporto solo il punto che mi lascia perplesso.
Si considerino i seguenti vettori di $R^4$
$v_1=( ( 1 ),( 0 ),( -1 ),( 1 ) ) ,v_2=( ( 1 ),( -1 ),( 0 ),( 0 ) ) ,v_3=( ( 1 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) ,v_4=( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) )$
Sia $L:R^4 -> R^2$ l'applicazione lineare che verifica le seguenti condizioni:
$L(v_1)=((0),(0)),L(v_2)=((0),(1)),L(v_3)=((1),(0)),L(v_4)=((3),(0))$
Dimostrare che L è l'unica applicazione lineare $R^4 -> R^2$ che soddisfa le condizioni scritte sopra.
Come si fa? Io ho provato in due modi non so se corretti
Metodo 1) Ho notato che i vettori $ v_1,v_2,v_3,v_4$ costituiscono una base di $R^4$ dunque l'applicazione lineare è unica. Nella mia testa funziona, ma non so se c'è un teorema che dice una cosa del genere
Metodo 2) Ho scritto la matrice che rappresenta l'applicazione lineare rispetto alla base${v_1,v_2,v_3,v_4}$ e rispetto alla base canonica di $R^2$.
$A=((0,0,1,3),(0,1,0,0))$
Suppongo che esista una seconda applicazione lineare $L':R^4 -> R^2$ che rispetta le stesse condizioni di $L$. Queste due applicazioni sono rappresentate dalla stessa matrice $A$ dunque coincidono.
Potreste aiutarmi ad individuare la strada corretta? Grazie in anticipo
Riporto solo il punto che mi lascia perplesso.
Si considerino i seguenti vettori di $R^4$
$v_1=( ( 1 ),( 0 ),( -1 ),( 1 ) ) ,v_2=( ( 1 ),( -1 ),( 0 ),( 0 ) ) ,v_3=( ( 1 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) ,v_4=( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) )$
Sia $L:R^4 -> R^2$ l'applicazione lineare che verifica le seguenti condizioni:
$L(v_1)=((0),(0)),L(v_2)=((0),(1)),L(v_3)=((1),(0)),L(v_4)=((3),(0))$
Dimostrare che L è l'unica applicazione lineare $R^4 -> R^2$ che soddisfa le condizioni scritte sopra.
Come si fa? Io ho provato in due modi non so se corretti
Metodo 1) Ho notato che i vettori $ v_1,v_2,v_3,v_4$ costituiscono una base di $R^4$ dunque l'applicazione lineare è unica. Nella mia testa funziona, ma non so se c'è un teorema che dice una cosa del genere
Metodo 2) Ho scritto la matrice che rappresenta l'applicazione lineare rispetto alla base${v_1,v_2,v_3,v_4}$ e rispetto alla base canonica di $R^2$.
$A=((0,0,1,3),(0,1,0,0))$
Suppongo che esista una seconda applicazione lineare $L':R^4 -> R^2$ che rispetta le stesse condizioni di $L$. Queste due applicazioni sono rappresentate dalla stessa matrice $A$ dunque coincidono.
Potreste aiutarmi ad individuare la strada corretta? Grazie in anticipo
Risposte
Per il punto 1 è ok. Con 4 vettori indipendenti possiamo univocamente definire dove viene inviata la base canonica di $RR^4$ (4 equazioni, in 4 variabili).
Se un vettore fosse stato comb. lineare degli altri, si sarebbero potute trovare infinite soluzione come nessuna.
Scrivendolo in forma matriciale, diventa anche più evidente che $LV=A rArr L=AV^(-1)$ se e solo V è invertibile.
Per il metodo 2, ho seri dubbi che quella sia la matrice L rispetto alla base V.
Se un vettore fosse stato comb. lineare degli altri, si sarebbero potute trovare infinite soluzione come nessuna.
Scrivendolo in forma matriciale, diventa anche più evidente che $LV=A rArr L=AV^(-1)$ se e solo V è invertibile.
Per il metodo 2, ho seri dubbi che quella sia la matrice L rispetto alla base V.
"Bokonon":
Per il punto 1 è ok. Con 4 vettori indipendenti possiamo univocamente definire dove viene inviata la base canonica di $RR^4$ (4 equazioni, in 4 variabili).
Se un vettore fosse stato comb. lineare degli altri, si sarebbero potute trovare infinite soluzione come nessuna.
Scrivendolo in forma matriciale, diventa anche più evidente che $LV=A rArr L=AV^(-1)$ se e solo V è invertibile.
Per il metodo 2, ho seri dubbi che quella sia la matrice L rispetto alla base V.
Grazie per la risposta
. Ho l'esame a breve quindi è megli chiarire subito questa cosa: la matrice $A$ associata a $L$ rispetto alle basi $V$ di $R^4$ e a quella canonica di $R^2$ ha per colonne i coefficienti della combinazione lineare delle immagini dei vettori$ {v_1,v_2,v_3,v_4} $ rispetto alla base di arrivo (in questo caso canonica). Esempio sulla seconda colonna di A:$L(v_2)=L( ( 1 ),( -1 ),( 0 ),( 0 ) )=((0),(1))=0e_1+1e_2$
Facciamo così...supponiamo che invece delle trasformazioni $L(v_i)$ ti avessero dato le medesime trasformazioni ma di $L(e_i)$. L cosa sarebbe? E in che base?
"Sergio":
Mi sa che non vi siete capiti
La matrice $A=((0,0,1,3),(0,1,0,0))$ è effettivamente la matrice associata a $L$ con base $V$ per $RR^4$ e base canonica per $RR^2$.
Non riesco a indovinare dov'è che non vi siete capiti, ma chiaramente, se $A$ deve essere una matrice da coordinate rispetto a $V$ a coordinate rispetto alla base canonica, per avere $L(v_i)$ devo moltiplicare $A$ per le coordinate di $v_i$ rispetto a $V$.
Le coordinate di $v_1$ rispetto a $V$ sono ovviamente $x_1=(1,0,0,0)$ e $Ax_1=(0,0)=L(v_1)$, come deve essere.
Le coordonate di $v_2$ rispetto a $V$ sono $x_2=(0,1,0,0)$ e $Ax_2=(0,1)=L(v_2)$, come deve essere.
Analogamente $Ax_3=(1,0)$ e $Ax_4=(3,0)$.
È così, oppure mi sono incartato io?
PS per Pic143: Dei tuoi due metodi preferisco il secondo, perché l'esercizio sembra proprio invitare a costruire una matrice associata e a ricordare la corrispondenza biunivoca tra applicazioni e matrici associate rispetto a basi fissate.
Grazie mille Sergio
Mi confermi dunque che le argomentazioni del secondo metodo sono sufficienti? Colgo l' occasione per complimentarmi: giro da poco su questo sito, ma i tuoi lavori sull' algebra non sono passati inosservati. Graziee!!!
"Sergio":
se $A$ deve essere una matrice da coordinate rispetto a $V$ a coordinate rispetto alla base canonica, per avere $L(v_i)$ devo moltiplicare $A$ per le coordinate di $v_i$ rispetto a $V$.
Ho letto il thread sulla dualità delle matrici (visione attiva e passiva) e francamente sono rimasto sorpreso perchè il concetto è di una semplicità disarmante.
Supponiamo che io ti dica che la posizione di un "oggetto" rispetto al mio riferimento sia $p=(1,1)$ e che tu mi dica "nah, rispetto al mio è $p'=(2,1)$.
Ok, questo punto ti chiedo che tipo di riferimento sia il tuo e tu mi rispondi "è ortogonale e puoi considerare la base canonica". Allora disegno il tuo riferimento, per esprimere la mia base rispetto alla tua, la canonica.
E scrivo i vettori della mia base come colonne della matrice $M= ( ( 1 , 1 ),( 0 , 1 ) ) $
$p=p'$ è perfettamente corretta come espressione ed è da intendersi "la posizione dell'oggetto è P secondo il mio riferimento e la tua P' secondo il tuo".
Se esplicito la mia base rispetto alla tua abbiamo $MP=P'$ di converso esplicitando la tua base rispetto alla mia abbiamo $p=M^(-1)p'$
Il mio sistema di riferimento non è ortogonale ma è perfettamente legittimo. P è semplicemente LA posizione secondo me. Se faccio $MP$ allora vedo le cose dal tuo punto di vista, ovvero la base canonica.
M può essere intesa anche come una trasformazione lineare. Io vedo un oggetto in posizione P rispetto al mio riferimento (diciamo la base canonica) e dopo un tempo $t$ l'oggetto si trova nella posizione $Mp=p'$.
Noterai che la matrice (sia intesa in senso attivo che passivo) sta a sinistra. Se volessi trasformare le posizioni $n$ oggetti metterei le coordinate nelle colonne di una matrice $P_(2xn)$ e faccio $MP=P'$
Non farò mai "matrice applicazione X base"...e questo in tutti i casi, sia passivo che attivo. Non avrebbe senso. Sarebbero tutte trasformazione come sopra.
Tornando alla matrice A, non si possono esprimere le sue colonne rispetto ad una qualsiasi base di $RR^4$
Tutto qua?
Almeno confutassi qualcosa...vabbè
Comunque sia, PER ME è corretto affermare che $V^TL^T=A^T$ e che $L^T$ è la matrice associata alla base $V^T$. Poi, come molti sanno, si creano casini perchè c'è l'autore che lavora per riga e quello per colonna e ci sono studenti (in questo forum i thrad abbondano) che non capiscono più una mazza e vedono solo che alla fine $L=A$. Se si deve decidere un ordine, è quello per colonna IMHO.
P.S. E se proprio vuoi dimostrarmi che le colonne di L sono combinazione lineare della base V accomodati pure.
Almeno confutassi qualcosa...vabbè
Comunque sia, PER ME è corretto affermare che $V^TL^T=A^T$ e che $L^T$ è la matrice associata alla base $V^T$. Poi, come molti sanno, si creano casini perchè c'è l'autore che lavora per riga e quello per colonna e ci sono studenti (in questo forum i thrad abbondano) che non capiscono più una mazza e vedono solo che alla fine $L=A$. Se si deve decidere un ordine, è quello per colonna IMHO.
P.S. E se proprio vuoi dimostrarmi che le colonne di L sono combinazione lineare della base V accomodati pure.
"Sergio":
Colonne di $L$? Intendo colonne di $A$, ma quando mai avrei detto una cosa del genere?
$L=A$ se...
"Sergio":
La matrice $A=((0,0,1,3),(0,1,0,0))$ è effettivamente la matrice associata a $L$ con base $V$ per $RR^4$ e base canonica per $RR^2$.
Io dico, NO
Per come è stato impostato l'esercizio (mettendo i vettori in colonna) l'espressione corretta è:
La matrice $A=((0,0,1,3),(0,1,0,0))$ è effettivamente la matrice associata a $L$ per righe con base $V^T$ per $RR^4$ e base canonica per $RR^2$.
L'ordine conta. Va specificato se si ragiona per righe o per colonne, ovvero se si scrive il cambio base come:
$VL=A$ (per colonne) oppure $L'V'=A'$ (per righe).
Nel secondo caso si intende $(LV)^T=A^T$
Sono stato veramente chiaro.
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