Esercizio applicazioni lineari

[continuumstst]

Sia $ L : \mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R^3} | \text{i}) L(e_1)=e_1+e_3, text{ii}) L(e_2)=2e_1+2e_2+3e_3,text{iii})L(e_3)=3e_1+2e_2+4e_3$ dove $ e_1, e_2, e_3 \in \mathbb{R^3} $ sono la base canonica.
Sia $ M_c:\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R^3} | text{i}) M_c(1,2)=ce_1+2e_2+2e_3, text{ii}) M_c(2,-1)=2e_2+ce_3 $

Si trovi per quali $ c \in \mathbb{R} $ si ha $ \text{Im} L = \text{Im} M_c $ e trovare la dimensione di $ \text{Im} L \cap \text{Im} M_c $ al variare di $ c $.

Ho provato a calcolare le matrici $ L $ e $M_c$ usando i dati che il problema da (e mi trovo $ L^1 = (1,0,1), L^2=(2,2,3), L^3=(3,2,4) $, per l'altra matrice se l'ho calcolata bene viene $ M_c^1 = (\frac{1}{3}c,1,\frac{3-c}{3}), M_c^2=(\frac{2}{3}c,0,\frac{6-c}{3}) $ e poi per trovare quando le due immagini sono uguali ho eguagliato $x \in \mathbb{R^3}, y \in \mathbb{R^2} | L(x)=M_c(y) $ e qui mi sono bloccato. Mi sapreste dare dei consigli o, se sto sbagliando, sapreste dirmi dove?
Ringrazio anticipatamente chi avrà la pazienza di aiutarmi

[Studente Anonimo]

"OperatoreNabla":
... se l'ho calcolata bene ...

Non mi pare. Infatti, rispetto alle basi naturali:

$L=((1,2,3),(0,2,2),(1,3,4)) ^^ rango(L)=2$

$M_c=((c,0),(2,2),(2,c))((1,2),(2,-1))^(-1)=((c,0),(2,2),(2,c))((1/5,2/5),(2/5,-1/5))=((1/5c,2/5c),(6/5,2/5),(2/5c+2/5,-1/5c+4/5))$

"OperatoreNabla":
Si trovi per quali $c in RR$ si ha $Im(L)=Im(M_c)$ ...

Dopo aver determinato la matrice sottostante:

$A=((1,2,1/5c,2/5c),(0,2,6/5,2/5),(1,3,2/5c+2/5,-1/5c+4/5))$

devi imporre le seguenti due condizioni:

$rango(A)=2 rarr |(1,2,1/5c),(0,2,6/5),(1,3,2/5c+2/5)|=0 ^^ |(1,2,2/5c),(0,2,2/5),(1,3,-1/5c+4/5)|=0 rarr c=1$