Esercizio applicazioni lineari

[valerio19961]

Sia V uno spazio vettoriale. Sia P : V → V un applicazione lineare tale che P °P = P.
Sia U l immagine di P e W il nucleo di P.Dimostrare che V è somma diretta di U+W

I miei dubbi riguardano come dimostrare che quindi V = U + W e l 'intersezione tra U e W è nulla
Grazie

[billyballo2123]

Se consideri un vettore $v\in U\cap W$, allora, dato che $v\in Im(P)$, esiste $v'\in V$ tale che $P(v')=v$. Inoltre, dato che $v\in Ker(P)$, si ha che $P(P(v'))=P(v)=0$, ma essendo $P=P\circ P$, si ha che $P(v')=P(P(v'))=0$, ed essendo $P(v')=v$, segue che $v=0$.

Per dimostrare che $V=U+V$, sei sicuro che non dica che $V$ abbia dimensione finita?

[valerio19961]

sisi mi correggo è a dimensione finita

[billyballo2123]

Bhè allora è facile: per il teorema della dimensione $dim(V)=dim(U)+dim(W)$, ed essendo $dim(U)+dim(W)=dim(U+W)$ (dato che la dimensione dell'intersezione è zero), si ha che $dim(V)=dim(U+W)$, ma l'unico sottospazio di $V$ che ha la sua stessa dimensione è $V$ stesso, dunque $V=U\oplus W$.

[valerio19961]

Grazie mille!!

[billyballo2123]

Figurati!