Esercizio applicazioni lineari
Salve avrei un dubbio sul seguente esercizio sulle applicazioni lineari:
Sia $ f: R^3->R^3$ l'applicazione lineare con polinomio caratteristico $p(\lambda$)= $(2-\lambda)^3$. Si ha:
1) $f$ è diagonalizzabile e invertibile.
2)$f$ non è diagonalizzabile ed è invertibile
3)se $f$ è diagonalizzabile, allora $f=2Id$
4)se $f$ è diagonalizzabile, allora $f=\pm2Id$
5)nessuna delle altre risposte.
Se il polinomio caratteristico assegnato fosse stato $p(\lambda)$$=$ $(4-\lambda)^3$ il procedimento e la risposta finale sarebbero rimaste invariate?
Se non chiedo troppo, sapreste gentilmente spiegarmi quale relazione intercorre tra il polinomio caratteristico e l'invertibilità dell'applicazione lineare (che poi sembra essere il fulcro dell'intero esercizio).
Ringrazio in anticipo per la risposta.
Sia $ f: R^3->R^3$ l'applicazione lineare con polinomio caratteristico $p(\lambda$)= $(2-\lambda)^3$. Si ha:
1) $f$ è diagonalizzabile e invertibile.
2)$f$ non è diagonalizzabile ed è invertibile
3)se $f$ è diagonalizzabile, allora $f=2Id$
4)se $f$ è diagonalizzabile, allora $f=\pm2Id$
5)nessuna delle altre risposte.
Se il polinomio caratteristico assegnato fosse stato $p(\lambda)$$=$ $(4-\lambda)^3$ il procedimento e la risposta finale sarebbero rimaste invariate?
Se non chiedo troppo, sapreste gentilmente spiegarmi quale relazione intercorre tra il polinomio caratteristico e l'invertibilità dell'applicazione lineare (che poi sembra essere il fulcro dell'intero esercizio).
Ringrazio in anticipo per la risposta.
Risposte
Buonasera,
provo ad azzardare una mia "risoluzione" dell''esercizio in quanto, per la specificità del mio corso di laurea, mi troverò a breve a dover affrontare un esame di geometria all'interno del quale abbonderanno esercizi simili; vorrei quindi esporre il ragionamento che ho seguito, naturalmente senza la pretesa di dire l'ultima parola in merito, e anzi sperando di essere eventualmente contraddetto o confermato.
La matrice è sicuramente invertibile in quanto l'unico autovalore è 2 con molteplicità algebrica 3, ma da questo non posso dedurne con certezza che sia diagonalizzabile: chi mi dice infatti che pure l'autospazio associato a 2 sia di dimensione 3?
D'altronde, la molteplicità geometrica deve necessariamente essere uguale alla molteplicità algebrica, affinché la matrice sia diagonalizzabile; ma noi non possiamo dire nulla sulla dimensione dell'autospazio V2, quindi non possiamo inferire né la diagonalizzabilità né la non diagonalizzabilità, con certezza.
Il ragionamento svolto sinora ci porta quindi a escludere le possibilità 1) e 2). Concentrandosi adesso sulla possibilità n. 3), notiamo che - in effetti - una matrice del tipo 2id avrebbe quel polinomio caratteristico e sarebbe diagonalizzabile (provare per credere). Naturalmente, l'opzione non indica questa possibilità ma il suo inverso, dobbiamo cioè dimostrare che SE la matrice è diagonalizzabile ALLORA è necessariamente del tipo 2id.
Poniamo che la matrice sia diagonalizzabile. Per quanto detto sopra e per via della relazione fondamentale (o anche "teorema della nullità più rango"), deve accadere che il rango della matrice f-2id (associata all'autovalore 2) sia 0 (siccome la dimensione del ker deve essere 3 = 3 - 0). Sappiamo che sulla diagonale principale sono disposti i termini 2-/lambda, cioè, in questo caso, sono disposti 3 zero.
Affinché una riduzione di Gauss porti la matrice ad essere di rango 0, deve necessariamente accadere che anche tutte le altre righe siano completamente costituite da 0. Ne consegue quindi che l'unica matrice diagonalizzabile con quel tipo di polinomio caratteristico è quella f=2id, e che quindi la risposta corretta è la 3).
Ringraziando in anticipo per le eventuali conferme o smentite, saluto.
provo ad azzardare una mia "risoluzione" dell''esercizio in quanto, per la specificità del mio corso di laurea, mi troverò a breve a dover affrontare un esame di geometria all'interno del quale abbonderanno esercizi simili; vorrei quindi esporre il ragionamento che ho seguito, naturalmente senza la pretesa di dire l'ultima parola in merito, e anzi sperando di essere eventualmente contraddetto o confermato.
La matrice è sicuramente invertibile in quanto l'unico autovalore è 2 con molteplicità algebrica 3, ma da questo non posso dedurne con certezza che sia diagonalizzabile: chi mi dice infatti che pure l'autospazio associato a 2 sia di dimensione 3?
D'altronde, la molteplicità geometrica deve necessariamente essere uguale alla molteplicità algebrica, affinché la matrice sia diagonalizzabile; ma noi non possiamo dire nulla sulla dimensione dell'autospazio V2, quindi non possiamo inferire né la diagonalizzabilità né la non diagonalizzabilità, con certezza.
Il ragionamento svolto sinora ci porta quindi a escludere le possibilità 1) e 2). Concentrandosi adesso sulla possibilità n. 3), notiamo che - in effetti - una matrice del tipo 2id avrebbe quel polinomio caratteristico e sarebbe diagonalizzabile (provare per credere). Naturalmente, l'opzione non indica questa possibilità ma il suo inverso, dobbiamo cioè dimostrare che SE la matrice è diagonalizzabile ALLORA è necessariamente del tipo 2id.
Poniamo che la matrice sia diagonalizzabile. Per quanto detto sopra e per via della relazione fondamentale (o anche "teorema della nullità più rango"), deve accadere che il rango della matrice f-2id (associata all'autovalore 2) sia 0 (siccome la dimensione del ker deve essere 3 = 3 - 0). Sappiamo che sulla diagonale principale sono disposti i termini 2-/lambda, cioè, in questo caso, sono disposti 3 zero.
Affinché una riduzione di Gauss porti la matrice ad essere di rango 0, deve necessariamente accadere che anche tutte le altre righe siano completamente costituite da 0. Ne consegue quindi che l'unica matrice diagonalizzabile con quel tipo di polinomio caratteristico è quella f=2id, e che quindi la risposta corretta è la 3).
Ringraziando in anticipo per le eventuali conferme o smentite, saluto.
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