Esercizio applicazioni lineari

[edo091]

Ciao a tutti!, sono un nuovo utente: dovrei risolvere questo esercizio sulle applicazioni lineari ma non so proprio da dove partire. Qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi o almeno indicarmi la strada!
Sia ${e1, e2, e3}$ la base canonica di $R^3$ e sia $f : R3 →R3$ l’applicazione lineare t.c. $f(e1+e2) = e1, f(e1−e3) = e2, f(e1−e2+e3) = e1.$ Allora si ha:
1) $f(e1 + 2e3) = 2e1 + e2$
2) $f(e1 + 2e3) = 2e1 − e2$
3) $f(e1 + 2e3)$ non si può calcolare con i dati a disposizione
4) $f(e1 + 2e3) = e1 + e2 $
5) f non `e ben definita


Grazie!

[edo091]

Nessuno può aiutarmi?

[cande95]

Così a occhio direi due. Comunque basta verificare che f è ben definita (cioè $vec e_1+ vec e_2$,$vec e_1-vec e_3$ e $vec e_1 -vec e_2 + vec e_3$ sia una base di $R^3$) e poi esprimi $vec e_1 + 2 vec e_3$ attraverso questa base ed il gioco è fatto (oppure per l'ultimo passaggio fai qualche somma e sottrazione dell'argomento della $f$.

[andreangiolini]

$ f (1,1,0) = (1,0,0)$
$ f (1,0,-1) = (0,1,0)$
$ f (1,-1,1) = (1,0,0)$

$ v= (e1+2e3) = (1,0,2) = A v1+ B v2 + Cv3 $ cioè è combinazione lineare dei tre vettori iniziali
$ (1,0,2) = A (1,1,0) + B (1,0,-1) + C(1,-1,1) $

Fai il sistema con:
$A+B+C=1$
$A-C= 0$
$-B+C = 2$

Lo risolvi e trovi
$A=1$
$B=-1 $
$C=1$

$f(v) = A (1,0,0) + B (0,1,0) + C (1,0,0)$ cioè è combinazione lineare delle tre immagini che ti dà all'inizio
$f(v) = (A+C,-B,0)$
$f(v) = (2,-1,0)$
$f(e1+2e3)=2e1-e2 $