Esercizio applicazioni lineari

[jJjjJ1]

Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita su K e sia \(\displaystyle F : V \longrightarrow V \) una applicazione lineare idempotente, cioè tale che
\(\displaystyle F ° F = F \)

Dimostrare che vale la relazione \(\displaystyle V = KerF \oplus ImF \)

Io ho pensato che se F ° F = F, allora devono coincidere l'insieme di partenza di F e ImF ( poiche F ° F ( v ) = F( F ( v ) ) ), ma allora, essendo l'insieme di partenza V, ImF = V, in particolare dim ImF = dim V, e allora KerF = { O }. Se KerF = { O } si ha che \(\displaystyle KerF \cap ImF = \{ O \} \), e poiché ogni vettore v che appartiene a V è somma di v stesso ( che appartiene anche ad ImF) del vettore O, che appartiene a Ker F, allora V è somma diretta di KerF e ImF.

Il ragionamento mi sembra che fili, ma il mio dubbio sorge dal fatto che ho supposto l'insieme di partenza di F coincidere con tutto V, è corretto o si deve supporre che l'insieme di partenza di F sia sottoinsieme di V? In tal caso come verrebbe?

[jitter1]

Ciao jjjjj,
bello questo esercizio. Ci ho provato anch'io, ma ogni volta che mi veniva un'idea mi accorgevo che era sbagliata . Chi ci aiuta a completarlo?

"jJjjJ":l ragionamento mi sembra che fili, ma il mio dubbio sorge dal fatto che ho supposto l'insieme di partenza di F coincidere con tutto V, è corretto o si deve supporre che l'insieme di partenza di F sia sottoinsieme di V

Questo non mi sembra valga in generale. Un controesempio:

$F(x, y) = F(2x + 2y, -x - y)$ è idempotente ma non suriettiva perché $ImF = <(2, -1)>$.

Potremmo provare quindi a fare a meno dell'ipotesi $ImF = V$, oppure - per restringere il campo ai casi possibili - a rispondere a queste domande preliminari:

A) un'applicazione lineare idempotente da V a V può essere né suriettiva né iniettiva?
sì: vedi esempio sopra

B) suriettiva e non iniettiva?
no, perché - a prescindere dal fatto che F sia idempotente o meno - se F è suriettiva, allora come dice jjjjjj, dimV = dim(Imf) e dim(kerF) = 0.

C) iniettiva e non suriettiva?
no, perché - a prescindere dal fatto che F sia idempotente o meno, se F è suriettiva, allora come dice jjjjjj, dimV = dim(kerf) e dim(ImF) = 0.
Spiegazione alternativa: se z non è nell'immagine, sia $f(z) = h$. Ma h è nell'immagine, quindi $f(h) = h$ (* vedi sotto, al punto 3) e f(z) = f(h). Quindi la F non è iniettiva, perché h e z sono diversi.

D) biiettiva e non identica? (questo, secondo me, no)

Quindi i casi da esaminare sono A) e D).
Nel caso D), la proposizione è dimostrata perché nel caso dell'applicazione identica kerF = {0} e ImF = V.

Invece, nel CASO A, dobbiamo dimostrare che:
1) $ker f + ImV sub V$ (ovvio)
2) $V sub ker f + ImV$
3) $kerF cap ImV = \{0}$

2) Qui non sono riuscita. Mi sembrava di essermi avvicinata scrivendo $v = v + (-w + v)$, con $w \in ImF$, ma poi ho perso filo e non sono più riuscita a riprenderlo: poteva funzionare?

3) Se per ipotesi abbiamo $F(v)=F(F(v)) $, ponendo $ F(v) = w $, possiamo scrivere $ w=F(w)$.
Quindi, per ogni vettore appartenente all'insieme immagine ho $f(w) = w$.
Supponiamo ora, per assurdo, che esista un vettore w diverso dal vettore nullo e appartenente a $kerF cap ImV$.
Siccome w appartiene anche all'immagine, ho $F(w) = w$, ma siccome $w \in kerF$, F(w) = 0, quindi w = 0: assurdo. Perciò $kerF cap ImV = \{0}$.

[jitter1]

Ma non è che in qualche modo c'entra questo?

viewtopic.php?f=37&t=139390

[EDIT]:
Per quanto dimostrato al link qui sopra, fissato v' in V e qualunque $v \in V$, esistono un $w \in kerF$ e uno scalare c tali che $v = w + cv'$.
Se scelgo v' come appartenente all'immagine ho scritto v come somma di un vettore di W e uno di ImF, quindi $v \in kerF + ImF$, e la 2) è dimostrata.

Ora ci dovrebbero essere tutti i pezzi, spero i passaggi siano corretti. Però mi sembra un po' lungo l'esercizio, forse c'era una strada meno contorta.