Esercizio applicazioni lineari
Ho qualche problema con questo esercizio.
Sia \(\displaystyle f_k \in End(\mathbb{R}^4)\) l'applicazione definita da \(\displaystyle f_k(e_1)=ke_1, f_k(e_2)=e_1, f_k(e3)=2e_3, f_k(e_4)=e_3+(k+1)e_4 \), dove {\(\displaystyle e_1,e_2,e_3,e_4 \)} è la base canonica di \(\displaystyle \mathbb{R}^4 \) e \(\displaystyle k \) è parametro reale. Si stabilisca se esistano valori di \(\displaystyle k \) per i quali esiste un endomorfismo lineare \(\displaystyle g \) di \(\displaystyle \mathbb{R}^4 \) tale che \(\displaystyle f_k(g(v))=2v \) per ogni \(\displaystyle v \in \mathbb{R}^4 \).
Ho trovato la matrice canonicamente associata a f, ed ho notato che il suo determinante è nullo per tutti i \(\displaystyle k \in \mathbb{R} \), quindi f non è un isomorfismo e la matrice non è invertibile. Come posso risolvere l'esercizio?
Grazie
Sia \(\displaystyle f_k \in End(\mathbb{R}^4)\) l'applicazione definita da \(\displaystyle f_k(e_1)=ke_1, f_k(e_2)=e_1, f_k(e3)=2e_3, f_k(e_4)=e_3+(k+1)e_4 \), dove {\(\displaystyle e_1,e_2,e_3,e_4 \)} è la base canonica di \(\displaystyle \mathbb{R}^4 \) e \(\displaystyle k \) è parametro reale. Si stabilisca se esistano valori di \(\displaystyle k \) per i quali esiste un endomorfismo lineare \(\displaystyle g \) di \(\displaystyle \mathbb{R}^4 \) tale che \(\displaystyle f_k(g(v))=2v \) per ogni \(\displaystyle v \in \mathbb{R}^4 \).
Ho trovato la matrice canonicamente associata a f, ed ho notato che il suo determinante è nullo per tutti i \(\displaystyle k \in \mathbb{R} \), quindi f non è un isomorfismo e la matrice non è invertibile. Come posso risolvere l'esercizio?
Grazie
Risposte
"Clamina":
\(f_k(e_4)=e_3+k+1\)
Sei sicura di questo? Pensandoci ...credo tu debba conoscere
\[ f (\underline{e}_4) = \sum_{i=1}^4 \alpha_i \underline{e}_i\]
Altrimenti come fai a costruire la matrice associata? Mi sbaglio?
hai ragione ho sbagliato a scrivere adesso correggo. sarebbe così: \(\displaystyle f_k(e_4)=e_3+(k+1)e_4 \)
Ad ogni modo mi viene in mente questo risultato:
\[L_{A} \circ L_{B} = L_{A \cdot B}\]
con \(L_{M}\) l'applicazione lineare a valori in entrata e in uscita in \(\mathbb{R}^4\) che ha come matrice associata rispetto alla base canonica (fissata in partenza e in arrivo) la matrice \(M \in \mathfrak{M}_{4 \times 4}\).
Quindi forse il problema puo' essere visto cosi: sia
\[A = \begin{bmatrix} k & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & (k+1) \end{bmatrix}\]
la matrice associata all'applicazione \(f\).
Per quali \(k\) esiste una matrice \(B \in \mathfrak{M}_{4 \times 4}\) tale che
\[A \cdot B = 2 I\]
?
Cioe' fondamentalmente ti viene chiesto di trovare per quali \(k \in \mathbb{R}\) la matrice \(\frac{A}{2}\) e' invertibile. Ma \(\frac{A}{2}\) e' invertibile sse il suo determinante e' non nullo.
D'altro canto per la linearita' rispetto alle colonne dell'applicazione determinante vale
\[\det(\mathcal{c}\,A) = \mathcal{c}^4 \cdot \det(A)\]
quindi
\[\det(A/2) \neq 0 \Leftrightarrow \det(A) \neq 0\]
A me sembra che tu non riesca a trovare alcun \(k\) per cui la matrice sia invertibile ... Ma potrei benissimo essermi sbagliato. Tu che pensi?
\[L_{A} \circ L_{B} = L_{A \cdot B}\]
con \(L_{M}\) l'applicazione lineare a valori in entrata e in uscita in \(\mathbb{R}^4\) che ha come matrice associata rispetto alla base canonica (fissata in partenza e in arrivo) la matrice \(M \in \mathfrak{M}_{4 \times 4}\).
Quindi forse il problema puo' essere visto cosi: sia
\[A = \begin{bmatrix} k & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & (k+1) \end{bmatrix}\]
la matrice associata all'applicazione \(f\).
Per quali \(k\) esiste una matrice \(B \in \mathfrak{M}_{4 \times 4}\) tale che
\[A \cdot B = 2 I\]
?
Cioe' fondamentalmente ti viene chiesto di trovare per quali \(k \in \mathbb{R}\) la matrice \(\frac{A}{2}\) e' invertibile. Ma \(\frac{A}{2}\) e' invertibile sse il suo determinante e' non nullo.
D'altro canto per la linearita' rispetto alle colonne dell'applicazione determinante vale
\[\det(\mathcal{c}\,A) = \mathcal{c}^4 \cdot \det(A)\]
quindi
\[\det(A/2) \neq 0 \Leftrightarrow \det(A) \neq 0\]
A me sembra che tu non riesca a trovare alcun \(k\) per cui la matrice sia invertibile ... Ma potrei benissimo essermi sbagliato. Tu che pensi?
Anche io ho pensato di risolverlo così! E ho ottenuto lo stesso risultato! A questo punto penso (spero) vada bene! Grazie
"Clamina":
A questo punto penso (spero) vada bene
Ti consiglio di riguardare comunque quella soluzione. Io, onestamente, non ne sono cosi sicuro ...
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