Esercizio Applicazione Lineare,ricavare matrice associata
Buon pomeriggio a tutti,stavo facendo qualche esercizio di preparazione e sono caduto in questo esercizio.
Sia $ S:R^3 ->R^3 $la funzione lineare associata a:
$[(0,0,0),(0,0,1),(1,2,3)]$
rispetto alla base ${(1,1,1),(0,2,2),(0,0,3)}$ di $R^3
a)si scriva la matrice associata ad S rispetto alle basi canoniche
b)Determinare basi dell'immagine Im(s) e Nucleo N(s)
La parte b sono in grado di farla se solo riuscissi a ricavare questa matrice che mi da qualche difficoltà.Come dovrei procedere in modo semplice?.Vi ringrazio intanto in anticipo
Sia $ S:R^3 ->R^3 $la funzione lineare associata a:
$[(0,0,0),(0,0,1),(1,2,3)]$
rispetto alla base ${(1,1,1),(0,2,2),(0,0,3)}$ di $R^3
a)si scriva la matrice associata ad S rispetto alle basi canoniche
b)Determinare basi dell'immagine Im(s) e Nucleo N(s)
La parte b sono in grado di farla se solo riuscissi a ricavare questa matrice che mi da qualche difficoltà.Come dovrei procedere in modo semplice?.Vi ringrazio intanto in anticipo
Risposte
Usa le definizioni di matrice associata. La prima colonna ti dice che $f(1,1,1)=(0,0,3)$, la seconda che $f(0,2,2)=(0,0,6)$, la terza $f(0,0,3)=(0,2,11)$
A questo punto con un po' di calcoli arrivi a determinare le immagini della base conica, infatti dalla terza ricavi che $f(0,0,1)=1/3f(0,0,3)=(0,2/3,11/3)$ e a questo punto scrivendo $f(0,2,2)-2f(0,0,1)=f(0,2,0)$ ricavi $f(0,1,0)$ e così via...
continua tu
A questo punto con un po' di calcoli arrivi a determinare le immagini della base conica, infatti dalla terza ricavi che $f(0,0,1)=1/3f(0,0,3)=(0,2/3,11/3)$ e a questo punto scrivendo $f(0,2,2)-2f(0,0,1)=f(0,2,0)$ ricavi $f(0,1,0)$ e così via...
continua tu
Ti ringrazio...Sarà magari meglio allora che io mi trovi qualcosa sulle matrici associate prima di capire le sue pillole culturali 
"mistake89":
La prima colonna ti dice che $f(1,1,1)=(0,0,3)$, la seconda che $f(0,2,2)=(0,0,6)$, la terza $f(0,0,3)=(0,2,11)$
Ciao. Non ho capito come si fa a determinare questo.
"Mirino06":
[quote="mistake89"] La prima colonna ti dice che $f(1,1,1)=(0,0,3)$, la seconda che $f(0,2,2)=(0,0,6)$, la terza $f(0,0,3)=(0,2,11)$
Ciao. Non ho capito come si fa a determinare questo.[/quote] +1...Sono contento di non essere l'unico..
Le colonne della matirce associata ad un'applicazione lineare in una base
sono le immagini dei vettori di quella base
sono le immagini dei vettori di quella base
"orazioster":
Le colonne della matirce associata ad un'applicazione lineare in una base
sono le immagini dei vettori di quella base
Nemmeno questo è corretto. Le colonne sono le componenti del vettore immagine rispetto ad una base fissata.
In pratica $f(v_1)=0v_1+0v_2+1v_3$, $f(v_2)=0v_1+0v_2+2v_3$ essendo $v_1,v_2,v_3$ i vettori della base $B$ assegnata.
"mistake89":
[quote="orazioster"]Le colonne della matirce associata ad un'applicazione lineare in una base
sono le immagini dei vettori di quella base
Nemmeno questo è corretto. Le colonne sono le componenti del vettore immagine rispetto ad una base fissata.
In pratica $f(v_1)=0v_1+0v_2+1v_3$, $f(v_2)=0v_1+0v_2+2v_3$ essendo $v_1,v_2,v_3$ i vettori della base $B$ assegnata.[/quote]
Ti ringrazio molto per l'aiuto ma ancora fatico a capire il procedimento logico della risoluzione.Come si ottengono i valori?
Cosa non ti è chiaro?
Chiama $v_1=(1,1,1),v_2=(0,2,2),v_3=(0,0,3)$ ed applica ciò che ti ho detto sopra. Cioè $f(1,1,1)=0(1,1,1)+0(0,2,2)+1(0,0,3)$ dove $0,0,1$ sono i coefficienti della prima colonna della tua matrice.
La seconda colonna è $0,0,2$ allora $f(0,2,2)=0(1,1,1)+0(0,2,2)+2(0,0,3)$
e così via
Chiama $v_1=(1,1,1),v_2=(0,2,2),v_3=(0,0,3)$ ed applica ciò che ti ho detto sopra. Cioè $f(1,1,1)=0(1,1,1)+0(0,2,2)+1(0,0,3)$ dove $0,0,1$ sono i coefficienti della prima colonna della tua matrice.
La seconda colonna è $0,0,2$ allora $f(0,2,2)=0(1,1,1)+0(0,2,2)+2(0,0,3)$
e così via
"mistake89":
Cosa non ti è chiaro?
Chiama $v_1=(1,1,1),v_2=(0,2,2),v_3=(0,0,3)$ ed applica ciò che ti ho detto sopra. Cioè $f(1,1,1)=0(1,1,1)+0(0,2,2)+1(0,0,3)$ dove $0,0,1$ sono i coefficienti della prima colonna della tua matrice.
La seconda colonna è $0,0,2$ allora $f(0,2,2)=0(1,1,1)+0(0,2,2)+2(0,0,3)$
e così via
Ho capito perfettamente questa parte,Ma perchè dopo ti metti a semplificare
A questo punto con un po' di calcoli arrivi a determinare le immagini della base conica, infatti dalla terza ricavi che f(0,0,1)=13f(0,0,3)=(0,23,113) e a questo punto scrivendo f(0,2,2)-2f(0,0,1)=f(0,2,0) ricavi f(0,1,0) e così via
Comunque ti ringrazio molto per l'aiuto
Ah scusami non avevo capito... Beh per definizione di applicazione lineare $f(lambdav)=lambdaf(v)$ con $lambda in RR$. Allora puoi riguardare il terzo vettore come $f(3*(0,0,1))=3 f(0,0,1)$ per cui moltiplicando l'immagine per $1/3$ ottieni esattamente $f(0,0,1)$.
Inoltre sappiamo anche che $f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)$ per cui il secondo vettore puoi vederlo come $f(0,2,0)+f(0,0,2)=f(0,2,0)+2f(0,0,1)$ Ma noi $f(0,0,1)$ la conosciamo per cui svolgendo i calcoli ottieni $f(0,1,0)$
Inoltre sappiamo anche che $f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)$ per cui il secondo vettore puoi vederlo come $f(0,2,0)+f(0,0,2)=f(0,2,0)+2f(0,0,1)$ Ma noi $f(0,0,1)$ la conosciamo per cui svolgendo i calcoli ottieni $f(0,1,0)$
"mistake89":
Ah scusami non avevo capito... Beh per definizione di applicazione lineare $f(lambdav)=lambdaf(v)$ con $lambda in RR$. Allora puoi riguardare il terzo vettore come $f(3*(0,0,1))=3 f(0,0,1)$ per cui moltiplicando l'immagine per $1/3$ ottieni esattamente $f(0,0,1)$.
Inoltre sappiamo anche che $f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)$ per cui il secondo vettore puoi vederlo come $f(0,2,0)+f(0,0,2)=f(0,2,0)+2f(0,0,1)$ Ma noi $f(0,0,1)$ la conosciamo per cui svolgendo i calcoli ottieni $f(0,1,0)$
Ma alla fine il nostro scopo è ottenere
$f(0,0,1)$
$f(0,1,0)$
$f(1,0,0)$?
Non capisco molto sinceramnte le proprietà delle applicazioni lineare le conosco,Ma non capisco come procedere per ottnere il secondo e il primo vettore,Ovvero qual'è la linea di pensiero su dove devo procedere.
Si certo, noi vogliamo scrivere la matrice associata rispetto alla base canonica che è formata da quei vettori lì.
Ora $f(0,0,1)$ ti è chiaro come ottenerlo?
Il principio è questo, se $B$ è una base (nel nostro caso quella canonica) ogni vettore è espressione mediante scalari di questi vettori. Il vettore $(0,2,2)=0e_1+2e_2+2e_3$.
Calcolare $f(0,2,2)=0f(e_1)+2f(e_2)+2f(e_3)$ Poichè $f(e_3)$ l'abbiamo appena determinato ed essendo $f(0,2,2)$ noto, possiamo scrivere il tutto come $f(e_2)=(f(0,2,2)-2f(e_3))/2$.
Una volta ottenuti $f(e_i)$ scriviamo le componenti rispetto alla base canonica della immagini ottenute come colonne della matrice.
Ora $f(0,0,1)$ ti è chiaro come ottenerlo?
Il principio è questo, se $B$ è una base (nel nostro caso quella canonica) ogni vettore è espressione mediante scalari di questi vettori. Il vettore $(0,2,2)=0e_1+2e_2+2e_3$.
Calcolare $f(0,2,2)=0f(e_1)+2f(e_2)+2f(e_3)$ Poichè $f(e_3)$ l'abbiamo appena determinato ed essendo $f(0,2,2)$ noto, possiamo scrivere il tutto come $f(e_2)=(f(0,2,2)-2f(e_3))/2$.
Una volta ottenuti $f(e_i)$ scriviamo le componenti rispetto alla base canonica della immagini ottenute come colonne della matrice.
"mistake89":
Si certo, noi vogliamo scrivere la matrice associata rispetto alla base canonica che è formata da quei vettori lì.
Ora $f(0,0,1)$ ti è chiaro come ottenerlo?
Il principio è questo, se $B$ è una base (nel nostro caso quella canonica) ogni vettore è espressione mediante scalari di questi vettori. Il vettore $(0,2,2)=0e_1+2e_2+2e_3$.
Calcolare $f(0,2,2)=0f(e_1)+2f(e_2)+2f(e_3)$ Poichè $f(e_3)$ l'abbiamo appena determinato ed essendo $f(0,2,2)$ noto, possiamo scrivere il tutto come $f(e_2)=(f(0,2,2)-2f(e_3))/2$.
Una volta ottenuti $f(e_i)$ scriviamo le componenti rispetto alla base canonica della immagini ottenute come colonne della matrice.
$f(0,0,1)=f(e_1)=1/3 f(0,0,3)=(0,2/3,11/3)
$f(0,2,2)=f(0,2,0)+2(0,2/3,11/3)
$f(0,2,0)=f(0,2,2)-2(0,2/3,11/3)
$f(0,1,0)=(f(0,2,2)-2(0,2/3,11/3))/2=((0,0,6)-(0,4/3,22/3))/2
è giusto così?
A parte i calcoli che non ho controllato in dettaglio sì
"mistake89":
Usa le definizioni di matrice associata. La prima colonna ti dice che $f(1,1,1)=(0,0,3)$, la seconda che $f(0,2,2)=(0,0,6)$, la terza $f(0,0,3)=(0,2,11)$
A questo punto con un po' di calcoli arrivi a determinare le immagini della base conica, infatti dalla terza ricavi che $f(0,0,1)=1/3f(0,0,3)=(0,2/3,11/3)$ e a questo punto scrivendo $f(0,2,2)-2f(0,0,1)=f(0,2,0)$ ricavi $f(0,1,0)$ e così via...
continua tu
Per determinare che che $f(0,2,0)=f(0,2,2)-2f(0,0,1)$, hai fatto un preciso calcolo oppure ci sei arrivato con un po' di "fantasia"?
Beh quello si vede ad occhio no?
Arrivare ai vettori della base canonica è semplice, altrimenti un metodo standard è sempre lo stesso, considerare il sistema $(x,y,z)=av_1+bv_2+cv_3$ e determinare $a,b,c$
Arrivare ai vettori della base canonica è semplice, altrimenti un metodo standard è sempre lo stesso, considerare il sistema $(x,y,z)=av_1+bv_2+cv_3$ e determinare $a,b,c$
Ti ringrazio
"mistake89":
[quote="orazioster"]Le colonne della matirce associata ad un'applicazione lineare in una base
sono le immagini dei vettori di quella base
Nemmeno questo è corretto. Le colonne sono le componenti del vettore immagine rispetto ad una base fissata.
In pratica $f(v_1)=0v_1+0v_2+1v_3$, $f(v_2)=0v_1+0v_2+2v_3$ essendo $v_1,v_2,v_3$ i vettori della base $B$ assegnata.[/quote]
L'immagine del vettore di una base, in coordinate rispetto /quella/ base, è, per esempio:
$f_L e_i=L_(kj)\delta_(ji)e_k$, ed ho perciò come coordinate dell'immagine la i-esima colonna di $L$; -insomma: è la stessa cosa...
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