Esercizio: applicazione lineare su spazio di polinomi
MI piacerebbe chiedervi aiuto anche su questo esercizio (ne sto facendo molti in vista dell'esame a breve)
SIa R2[x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficiente R di grado minore uguale a 2.
a) verificare che esiste un unico endomorfismo f: R2[x]->R2[x] tale che
f(1-2x)=3-2x-x^2
f(3-2x^2)=3-3x^2
f(x-x^2)=-1+x
Vi asicuro che ho studiato la teoria approfonditamente fin qui, ma proprio non ho uno straccio di idea su come affrontarlo....
SIa R2[x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficiente R di grado minore uguale a 2.
a) verificare che esiste un unico endomorfismo f: R2[x]->R2[x] tale che
f(1-2x)=3-2x-x^2
f(3-2x^2)=3-3x^2
f(x-x^2)=-1+x
Vi asicuro che ho studiato la teoria approfonditamente fin qui, ma proprio non ho uno straccio di idea su come affrontarlo....
Risposte
"parmeo":
MI piacerebbe chiedervi aiuto anche su questo esercizio (ne sto facendo molti in vista dell'esame a breve)
SIa $R_(<=2)[x]$ lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficiente in $RR$ di grado minore uguale a $2$.
a) verificare che esiste un unico endomorfismo $f: R_(<=2)[x]->R_(<=2)[x]$ tale che
$f(1-2x)=3-2x-x^2$
$f(3-2x^2)=3-3x^2$
$f(x-x^2)=-1+x$
Il teorema di esistenza ed unicità di un'applicazione lineare...?
Perfetto, ho fatto un'ottima figura! 
Non so perché ma proprio non ci ho pensato
Grazie..
Non so perché ma proprio non ci ho pensato
Grazie..
Calcolare effettivamente l'applicazione lineare in questione è facile perché si conoscono
le immagini di 3 vettori noti di $R^3$.
Se è gradito presento io i calcoli. Per prima cosa per comodità di scrittura indico un vettore di $R^3$ con la notazione in orizzontale $(x,y,z)$ anziché in verticale. Inoltre ad ogni polinomio di $R_2[x]=c+bx+ax^2$ faccio corrispondere
biettivamente il vettore $(c,b,a)$ dei suoi coefficienti ( in ordine crescente rispetto alle potenze della indeterminata $x$)
Allora, indicando con $f$ l'applicazione lineare da calcolare, si hanno le condizione:
$f(1,-2,0)=(3,-2,-1),f(3,0,-2)=(3,0,-3),f(0,1,-1)=(-1,1,0)$
Com'é noto, essendo i vettori noti linearmente indipendenti ( puoi verificarlo se vuoi), queste condizioni determinano completamente l'applicazione $f$ e facendo calcoli noti si trovano le equazioni di $f$:
$f(c,b,a)=(-b+c,b,-c)$
In termini di polinomi questo significa che è:
$f(c+bx+ax^2)=(-b+c)+bx-cx^2$
le immagini di 3 vettori noti di $R^3$.
Se è gradito presento io i calcoli. Per prima cosa per comodità di scrittura indico un vettore di $R^3$ con la notazione in orizzontale $(x,y,z)$ anziché in verticale. Inoltre ad ogni polinomio di $R_2[x]=c+bx+ax^2$ faccio corrispondere
biettivamente il vettore $(c,b,a)$ dei suoi coefficienti ( in ordine crescente rispetto alle potenze della indeterminata $x$)
Allora, indicando con $f$ l'applicazione lineare da calcolare, si hanno le condizione:
$f(1,-2,0)=(3,-2,-1),f(3,0,-2)=(3,0,-3),f(0,1,-1)=(-1,1,0)$
Com'é noto, essendo i vettori noti linearmente indipendenti ( puoi verificarlo se vuoi), queste condizioni determinano completamente l'applicazione $f$ e facendo calcoli noti si trovano le equazioni di $f$:
$f(c,b,a)=(-b+c,b,-c)$
In termini di polinomi questo significa che è:
$f(c+bx+ax^2)=(-b+c)+bx-cx^2$
"sandroroma":
e facendo calcoli noti si trovano le equazioni di $f$:
$f(c,b,a)=(-b+c,b,-c)$
Sai che questi calcoli non li ho capiti?
In effetti non ho noti quei calcoli nemmeno io.
Grazie per le risposte
Grazie per le risposte
La determinazione di un'applicazione lineare $R^3->R^3$ essendo note le immagini di 3 vettori indipendenti è abbastanza facile e ...comune ( sui testi la risoluzione si trova di sicuro). Si farebbe quindi un'utile esercitazione provando a risolvere la cosa da soli... consultando qualche testo.
Ciao sandro,
guarda ho cercato sia online che sul mio libro (purtroppo però è solo teorico e nell'eserciziario non c'è straccio di una soluzione, c'è solo il risultato degli esercizi).
Io non voglio che mi svolgi i calcoli, ma vorrei sapere solo come si imposta la risoluzione per giungere a
f(c,b,a)=(−b+c,b,−c) perché una volta appresa sarà mia per sempre.
Mi piacerebbe davvero capirlo, ti ringrazio
guarda ho cercato sia online che sul mio libro (purtroppo però è solo teorico e nell'eserciziario non c'è straccio di una soluzione, c'è solo il risultato degli esercizi).
Io non voglio che mi svolgi i calcoli, ma vorrei sapere solo come si imposta la risoluzione per giungere a
f(c,b,a)=(−b+c,b,−c) perché una volta appresa sarà mia per sempre.
Mi piacerebbe davvero capirlo, ti ringrazio
Provo a riassumere il procedimento.
Per prima cosa si cerca di esprimere il vettore $ (c,b,a) $ del generico polinomio $c+bx+ax^2$
in funzione dei vettori di cui si conoscono le corrispondenti immagini. A tale scopo pongo:
$(c,b,a)=p(1,-2,0)+q(3,0,-2)+r(0,1,-1)$
dove $p,q,r$ sono scalari da determinare.
Da qui :
$(c,b,a)=(p+3q,-2p+r,-2q-r)$
Risulta il sistema :
\begin{cases}p+3q=c\\-2p+r=b\\-2q-r=a\end{cases}
Le soluzioni sono :
$p=-3/4a-3/4b-1/2c$
$q=1/4a+1/4b+1/2c$
$r=-3/2a-1/2b-c$
Pertanto si ha :
$(c,b,a)=(-3/4a-3/4b-1/2c)(1,-2,0)+(1/4a+1/4b+1/2c)(3,0,-2)+(-3/2a-1/2b-c)(0,1,-1)$
Passando alle immagini risulta:
$f(c,b,a)=(-3/4a-3/4b-1/2c)f(1,-2,0)+(1/4a+1/4b+1/2c)f(3,0,-2)+(-3/2a-1/2b-c)f(0,1,-1)$
Ovvero:
$f(c,b,a)=(-3/4a-3/4b-1/2c)(3,-2,-1)+(1/4a+1/4b+1/2c)(3,0,-3)+(-3/2a-1/2b-c)(-1,1,0)$
Effettuando i relativi calcoli, alla fine si ha quanto voluto:
$f(c,b,a)=(-b+c,b,-c)$
Per prima cosa si cerca di esprimere il vettore $ (c,b,a) $ del generico polinomio $c+bx+ax^2$
in funzione dei vettori di cui si conoscono le corrispondenti immagini. A tale scopo pongo:
$(c,b,a)=p(1,-2,0)+q(3,0,-2)+r(0,1,-1)$
dove $p,q,r$ sono scalari da determinare.
Da qui :
$(c,b,a)=(p+3q,-2p+r,-2q-r)$
Risulta il sistema :
\begin{cases}p+3q=c\\-2p+r=b\\-2q-r=a\end{cases}
Le soluzioni sono :
$p=-3/4a-3/4b-1/2c$
$q=1/4a+1/4b+1/2c$
$r=-3/2a-1/2b-c$
Pertanto si ha :
$(c,b,a)=(-3/4a-3/4b-1/2c)(1,-2,0)+(1/4a+1/4b+1/2c)(3,0,-2)+(-3/2a-1/2b-c)(0,1,-1)$
Passando alle immagini risulta:
$f(c,b,a)=(-3/4a-3/4b-1/2c)f(1,-2,0)+(1/4a+1/4b+1/2c)f(3,0,-2)+(-3/2a-1/2b-c)f(0,1,-1)$
Ovvero:
$f(c,b,a)=(-3/4a-3/4b-1/2c)(3,-2,-1)+(1/4a+1/4b+1/2c)(3,0,-3)+(-3/2a-1/2b-c)(-1,1,0)$
Effettuando i relativi calcoli, alla fine si ha quanto voluto:
$f(c,b,a)=(-b+c,b,-c)$
"sandroroma":
Provo a riassumere il procedimento.
Per prima cosa si cerca di esprimere il vettore $ (c,b,a) $ del generico polinomio $c+bx+ax^2$
in funzione dei vettori di cui si conoscono le corrispondenti immagini. A tale scopo pongo:
$(c,b,a)=p(1,-2,0)+q(3,0,-2)+r(0,1,-1)$
dove $p,q,r$ sono scalari da determinare.
Da qui :
$(c,b,a)=(p+3q,-2p+r,-2q-r)$
Risulta il sistema :
\begin{cases}p+3q=c\\-2p+r=b\\-2q-r=a\end{cases}
Le soluzioni sono :
$p=-3/4a-3/4b-1/2c$
$q=1/4a+1/4b+1/2c$
$r=-3/2a-1/2b-c$
Pertanto si ha :
$(c,b,a)=(-3/4a-3/4b-1/2c)(1,-2,0)+(1/4a+1/4b+1/2c)(3,0,-2)+(-3/2a-1/2b-c)(0,1,-1)$
Passando alle immagini risulta:
$f(c,b,a)=(-3/4a-3/4b-1/2c)f(1,-2,0)+(1/4a+1/4b+1/2c)f(3,0,-2)+(-3/2a-1/2b-c)f(0,1,-1)$
Ovvero:
$f(c,b,a)=(-3/4a-3/4b-1/2c)(3,-2,-1)+(1/4a+1/4b+1/2c)(3,0,-3)+(-3/2a-1/2b-c)(-1,1,0)$
Effettuando i relativi calcoli, alla fine si ha quanto voluto:
$f(c,b,a)=(-b+c,b,-c)$
Intanto ti ringrazio per tutto questo.
Volevo giusto ragionare un attimo su quel $f(c,b,a)$
Siamo d'accordo che $(c,b,a)=c(1,0,0)+b(0,1,0)+a(0,0,1)$
Potevo pervenire allo stesso tuo risultato sfruttando la linearità delle trasformazioni lineari determinando $f(1,0,0);f(0,1,0);f(0,0,1) $ attraverso combinazioni lineari, giusto?
Grazie mille, ci ragiono un po' sopra e vedo se mi torna tutto
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