Esercizio applicazione lineare, sottoinsieme
data T:R3->R3
definita da
T(e1)= (213)
T(e2)= (0 -7 9)
T(e3)= (1 4 -3)
a)determinare matrice associata. non farei altro che scrivere i vettori per colonna nella matrice
2 0 1
T= 1 -7 4
3 9 -3
b) calcolare la base e dim del ker di T e di im di T
ho controllato l indipendenza lineare tramite riduz a gradini di gauss e ho trovato i due pivots in corrispondenza dei due vettori presi come base di im T e l'altro, dipendente, come base del ker T
base im B(Im)={(2 1 3) ; (0 -7 9)} dim=2
base ker B(Ker)={(1 4 -3)} dim=1
c) determinare il seguente sottoinsieme di R3
T^-1 (2 -6 12)= T(x y z)= (2 -6 12)
qui non so proprio come procedere
grazie
definita da
T(e1)= (213)
T(e2)= (0 -7 9)
T(e3)= (1 4 -3)
a)determinare matrice associata. non farei altro che scrivere i vettori per colonna nella matrice
2 0 1
T= 1 -7 4
3 9 -3
b) calcolare la base e dim del ker di T e di im di T
ho controllato l indipendenza lineare tramite riduz a gradini di gauss e ho trovato i due pivots in corrispondenza dei due vettori presi come base di im T e l'altro, dipendente, come base del ker T
base im B(Im)={(2 1 3) ; (0 -7 9)} dim=2
base ker B(Ker)={(1 4 -3)} dim=1
c) determinare il seguente sottoinsieme di R3
T^-1 (2 -6 12)= T(x y z)= (2 -6 12)
qui non so proprio come procedere
grazie
Risposte
Potresti scrivere con le formule? è di difficile lettura . Comunque per il punto c.
Ti consiglio di trovarti $T(x,y,z)$ e dopo di che trovarti le controimmagini di $(2,-6,12)$.
Ti consiglio di trovarti $T(x,y,z)$ e dopo di che trovarti le controimmagini di $(2,-6,12)$.
scusami ma sono nuova e non so ancora usare le cose!
Le mie soluzioni sono giuste?
Comunque non so proprio come impostarlo l'ultimo perchè credo di non aver capito il concetto! cosa sto facendo? per trovare cosa?
in ogni caso T(x y z) = (11, 3, 14) è corretto? e ora cosa dovrei fare?
T(11, 3, 14) = A (3,1,2) e quindi ricavare A di T^-1?????????
Le mie soluzioni sono giuste?
Comunque non so proprio come impostarlo l'ultimo perchè credo di non aver capito il concetto! cosa sto facendo? per trovare cosa?
in ogni caso T(x y z) = (11, 3, 14) è corretto? e ora cosa dovrei fare?
T(11, 3, 14) = A (3,1,2) e quindi ricavare A di T^-1?????????
Procediamo per gradi...
Tu hai $T:R^3->R^3$
definita da
$T(e_1)= (2,1,3)$
$T(e_2)= (0,-7,9)$
$T(e_3)= (1, 4 ,-3)$. Essendo ${e_1,e_2,e_3}$ una base di $RR^3$, per come definita $T$ , dal teorema di esistenza ed esistenza delle applicazioni lineari sai che $T$ è lineare.
Se vogliamo trovare esplicitamente $T$ , dobbiamo vedere $AA (x,y,z) \in RR^3 , T(x,y,z)=?$.
Se consideriamo la base canonica, sappiamo che $(x,y,z) = xe_1+ye_2+ze_3$ ,sei d'accordo?
dunque $T(x,y,z)=T(xe_1+ye_2+ze_3) = {$sfrutto la linearità di $T$}$=xT(e_1)+yT(e_2)+zT(e_3)= (2x+z,x-7y+4z,3x+9y-3z)$. (1)
Il punto $a)$ , va bene. ( Ma ti invito ad una riflessione. Se $B={(1,0,0) , (0,1,1) , (0,0,1)}$ è una base di $RR^3$ , chi sarebbe stata la matrice associata ad $f$ secondo la base $B$?)
Per il punto $b)$ , per calcolarti la dimensione dell'immagine, puoi benissimo ragionare sulla matrice associata. Infatti si dimostra che $dimImT= Rg(A)$.
Per il nucleo, una volta scritta $T$ nella forma (1), il tuo problema in sostanza è quello di trovarti $(x,y,z) \in RR^3$ tali che soddisfano $T(x,y,z)=(0,0,0)$.
Per il punto c) devi trovarti le controimmagini del vettore indicato..
Ti porto un esempio.
Tu hai $T:R^3->R^3$
definita da
$T(e_1)= (2,1,3)$
$T(e_2)= (0,-7,9)$
$T(e_3)= (1, 4 ,-3)$. Essendo ${e_1,e_2,e_3}$ una base di $RR^3$, per come definita $T$ , dal teorema di esistenza ed esistenza delle applicazioni lineari sai che $T$ è lineare.
Se vogliamo trovare esplicitamente $T$ , dobbiamo vedere $AA (x,y,z) \in RR^3 , T(x,y,z)=?$.
Se consideriamo la base canonica, sappiamo che $(x,y,z) = xe_1+ye_2+ze_3$ ,sei d'accordo?
dunque $T(x,y,z)=T(xe_1+ye_2+ze_3) = {$sfrutto la linearità di $T$}$=xT(e_1)+yT(e_2)+zT(e_3)= (2x+z,x-7y+4z,3x+9y-3z)$. (1)
Il punto $a)$ , va bene. ( Ma ti invito ad una riflessione. Se $B={(1,0,0) , (0,1,1) , (0,0,1)}$ è una base di $RR^3$ , chi sarebbe stata la matrice associata ad $f$ secondo la base $B$?)
Per il punto $b)$ , per calcolarti la dimensione dell'immagine, puoi benissimo ragionare sulla matrice associata. Infatti si dimostra che $dimImT= Rg(A)$.
Per il nucleo, una volta scritta $T$ nella forma (1), il tuo problema in sostanza è quello di trovarti $(x,y,z) \in RR^3$ tali che soddisfano $T(x,y,z)=(0,0,0)$.
Per il punto c) devi trovarti le controimmagini del vettore indicato..
Ti porto un esempio.
sarebbe
1 0 0
0 1 0
0 1 1
o sbaglio?
Sono d'accordissimo con la prima parte.
Per il punto c) credo io confonda con il cambio di coordinate a questo punto, per questo userei A! Concettualmente è una cosa molto diversa però, giusto? qui considero le controimmagini quindi gli elementi dell'insieme di arrivo corrisp ai vettori mentre nell'altro caso? perchè cambio le coordinate?
Comunque avrei
T(xyz)= (2x+z,x-7y+4z,3x+9y-3z)= (2 -6 12)
da cui ricavo
x=t
y= 1-t
z=1-2t
t(1,-1,-2)+(0,1,1)
giusto??
E che differenza c'è con l'altro esercizio che mi hai commentato? perchè li usiamo A e qui no?
applicazione-lineare-esercizio-t108095.html
1 0 0
0 1 0
0 1 1
o sbaglio?
Sono d'accordissimo con la prima parte.
Per il punto c) credo io confonda con il cambio di coordinate a questo punto, per questo userei A! Concettualmente è una cosa molto diversa però, giusto? qui considero le controimmagini quindi gli elementi dell'insieme di arrivo corrisp ai vettori mentre nell'altro caso? perchè cambio le coordinate?
Comunque avrei
T(xyz)= (2x+z,x-7y+4z,3x+9y-3z)= (2 -6 12)
da cui ricavo
x=t
y= 1-t
z=1-2t
t(1,-1,-2)+(0,1,1)
giusto??
E che differenza c'è con l'altro esercizio che mi hai commentato? perchè li usiamo A e qui no?
applicazione-lineare-esercizio-t108095.html
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