Esercizio applicazione lineare
Salve a tutti !
Sto trovando delle difficoltà a risolvere il seguente esercizio:
Sia f:R^3->R^3 l'applicazione lineare definita da $f(x,y,z)=A((x),(y),(z))$ con
$A=((1,0,2),(b,0,2c),(-1,0,d))$
Allora:
1) (1,1,1) è autovettore per d=1
2) Esistono dei valori b,c,d per cui (1,1,1) è autovettore
3) Esistono dei valori b,c,d per cui (1,1,1) è autovettore relativo a $\lambda=1$
4) f è biunivoca per b=1
5) Esistono dei valori b,c,d per cui (1,0,1) e (0,0,1) sono autovettori relativi a uno stesso autovalore
Devo indicare la risposta giusta.
Sinceramente non saprei neanche come iniziare, ho provato a calcolare gli autovalori ma non ho ottenuto niente di buono...
Qualcuno potrebbe darmi una dritta su come risolvere il quesito?
Grazie mille a tutti in anticipo!
Sto trovando delle difficoltà a risolvere il seguente esercizio:
Sia f:R^3->R^3 l'applicazione lineare definita da $f(x,y,z)=A((x),(y),(z))$ con
$A=((1,0,2),(b,0,2c),(-1,0,d))$
Allora:
1) (1,1,1) è autovettore per d=1
2) Esistono dei valori b,c,d per cui (1,1,1) è autovettore
3) Esistono dei valori b,c,d per cui (1,1,1) è autovettore relativo a $\lambda=1$
4) f è biunivoca per b=1
5) Esistono dei valori b,c,d per cui (1,0,1) e (0,0,1) sono autovettori relativi a uno stesso autovalore
Devo indicare la risposta giusta.
Sinceramente non saprei neanche come iniziare, ho provato a calcolare gli autovalori ma non ho ottenuto niente di buono...
Qualcuno potrebbe darmi una dritta su come risolvere il quesito?
Grazie mille a tutti in anticipo!
Risposte
Se $(1,1,1)$ è un autovettore per $d=1 $ allora per definizione deve essere che $A ((1),(1),(1))=lambda ((1),(1),(1)) $ dopo aver POSTO nella matrice A , $d=1$ , verifica se è vero...
Grazie Camillo!
A questo punto risponderei con la numero 2, in quanto il vettore (1,1,1) per d=4, b=k, $c=(3-k)/2$ $AA k\inRR$ è autovettore relativo all'autovalore $\lambda=3$.
A questo punto risponderei con la numero 2, in quanto il vettore (1,1,1) per d=4, b=k, $c=(3-k)/2$ $AA k\inRR$ è autovettore relativo all'autovalore $\lambda=3$.
OK , non è $lambda=1/3 $ o ho fatto i conti troppo alla svelta ?
Molto probabilmente ho sbagliato io.
Questi sono i passaggi che ho svolto:
$A((1),(1),(1))=\lambda((1),(1),(1)) \equiv$
${(1+2=\lambda),(b+2c=\lambda),(-1+d=\lambda):}$
Dalla prima equazione mi trovo $\lambda=3$, dalle altre mi ricavo i valori che devono assumere i parametri affinchè il sistema possa avere soluzione.
Questi sono i passaggi che ho svolto:
$A((1),(1),(1))=\lambda((1),(1),(1)) \equiv$
${(1+2=\lambda),(b+2c=\lambda),(-1+d=\lambda):}$
Dalla prima equazione mi trovo $\lambda=3$, dalle altre mi ricavo i valori che devono assumere i parametri affinchè il sistema possa avere soluzione.
Giusto il tuo $lambda=3 $, e hai anche verificato che le altre non sono risposte corrette ? ad es la risp 4 perchè non è corretta ?
Effettivamente è l'unica che non ho rincontrollato 
f per essere biunivoca deve essere sia iniettiva che suriettiva.
Per b=1 ho che $dimIm(f)=2$ e che $dimKer(f)=3-dimIm(f)=1$
Quindi non è ne suriettiva in quanto $dimRR^3!=dimIm(f)$ e neanche iniettiva in quanto $dimKer(f)!=0$.
Di conseguenza non è neanche biunivoca.
f per essere biunivoca deve essere sia iniettiva che suriettiva.
Per b=1 ho che $dimIm(f)=2$ e che $dimKer(f)=3-dimIm(f)=1$
Quindi non è ne suriettiva in quanto $dimRR^3!=dimIm(f)$ e neanche iniettiva in quanto $dimKer(f)!=0$.
Di conseguenza non è neanche biunivoca.
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