Esercizio applicazione lineare 2

[francescoric92]

Salve ragazzi,vi volevo proporre un esercizio molto simile a quello che avevo postato poco fa.
Sia data la baseB= [ $((1),(0))$ ,$((1),(1))$]
e sia f l'applicazione lineare definita da A=(x1+x2,x1-x2)
1)Si scriva la matrice A che rappresenta l'applicazione f rispetto alla base canonica nel dominio e nel codominio.
2)Si scriva la matrice che rappresenta f rispetto alla base B nel dominio e nel codominio.C=B[f]B ???
Allora il primo punto l'ho risolto: A= $((1,1),(1,-1))$
però il secondo punto come si risolve?MI potreste solamente impostare il problema?Se sapete,un metodo che non usi il cambiamento di base.
Grazieeeeeee

[Peter Pan1]

Ciao francesco
Usa la definizione di matrice associata ad una base $ B $, cioè devi calcolarti le coordinate dei trasformati dei vettori di base che hai. $ A(1,0)=(1,1) $ e $ A(1,1)=(2,0) $. Le coordinate del primo nella base $ B $ sono $ (0,1) $ e del secondo $ (2,0) $. Quindi la matrice è $ ((0,2),(1,0)) $.

[Sk_Anonymous]

Puoi fare un calcolo diretto. Se A è la matrice data, C è la nuova matrice, B' è la base di arrivo e B è la base di partenza allora è :
$C=(B')^{-1}cdot A cdot B $
Nel tuo caso è :
$C=((1,1),(0,1))^{-1} cdot ((1,1),(1,-1)) cdot ((1,1),(0,1))=((1,-1),(0,1)) cdot ((1,1),(1,-1)) cdot ((1,1),(0,1))=$
$=((0,2),(1,-1)) cdot ((1,1),(0,1))=((0,2),(1,0))$

[francescoric92]

"Peter Pan":Ciao francesco
Usa la definizione di matrice associata ad una base $ B $, cioè devi calcolarti le coordinate dei trasformati dei vettori di base che hai. $ A(1,0)=(1,1) $ e $ A(1,1)=(2,0) $. Le coordinate del primo nella base $ B $ sono $ (0,1) $ e del secondo $ (2,0) $. Quindi la matrice è $ ((0,2),(1,0)) $.

Ciao Peter Pan,è proprio questo il problema,come faccio a calcolarmi le coordinate dei trasformati dei vettori?Mi saresti di grandissimo aiuto se me lo dicessi

[francescoric92]

"ciromario":Puoi fare un calcolo diretto. Se A è la matrice data, C è la nuova matrice, B' è la base di arrivo e B è la base di partenza allora è :
$C=(B')^{-1}cdot A cdot B $
Nel tuo caso è :
$C=((1,1),(0,1))^{-1} cdot ((1,1),(1,-1)) cdot ((1,1),(0,1))=((1,-1),(0,1)) cdot ((1,1),(1,-1)) cdot ((1,1),(0,1))=$
$=((0,2),(1,-1)) cdot ((1,1),(0,1))=((0,2),(1,0))$

Ciao ciromario,questo metodo che hai usato è con il cambiamento di base,che già conoscevo,però mi chiedevo con quell'altro metodo come faccio a risolvere il problema?Ho provato ad usare una formula che mi avevi dato tu in un vecchio post che avevo messo io,sempre su un caso simile,però quando vado a fare i conti,non tornano con i vostri.Ecco come ho risolto:
f$((1),(0))$ = $((1,1),(1,-1))$ *$((1),(0))$ = $((1),(0))$ da qui devo fare la combinazione lineare,cioè esprimo l'immagine in funzione dei vettori :
$((1),(0))$= a $((1),(0))$ + b $((1),(1))$
da cui 1=a+b e 0=b a=1 e il primo vettore mi esce $((1),(0))$ che non combacia con il tuo, come mai??

[Peter Pan1]

Per calcolarti le coordinate di un vettore devi scrivere una generica combinazione lineare dei vettori di base e trovare i coefficienti della combinazione. Qui hai $ (1,1)=alpha(1,0)+beta(1,1) $ quindi $ alpha=0, beta=1 $ e l'altro $ (2,0)=alpha(1,0)+beta(1,1) $ quindi $ alpha=2,beta=0 $.

[Peter Pan1]

p.s.
$ f((1),(0))=((1,1),(1,-1))((1),(0))=((1),(1)) $

[francescoric92]

Aaaaah adesso ho capito,allora come avevo ipotizzato io,solo che avevo sbagliato i calcoli
Ancora grazie