Esercizio applicazione lineare
Sia B={v1;v2;v3}, dove v1= $ ( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) ) $ , v2= $ ( ( 2 ),( 1 ),( -1 ) ) $ , v3= $ ( ( 0 ),( 0 ),( -1 ) ) $ .
Si verifichi che B è una base di C3.
Sia E={e1, e2, e3, e4} la base canonica di C4 e si consideri l'applicazione lineare f: C3 $ rarr $ C4 tale che:
f(v1)= 2e1+e2+e4
f(v2)= e2-e3
f(v3)= e1-2e3+e4
1) Si trovi la matrice B associata a f rispetto alla base canonica sul dominio e sul codominio.
2) Si calcoli il rango di f.
3) Il vettore $ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ appartiene all'immagine di f? Se sì, si trovi un vettore v $ in $ C3 tale che f(v) = $ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) $.
4) Si trovi una base dello spazio nullo e dell'immagine di f.
Ho risolto questo esercizio ma siccome non ho i risultati vorrei capire se ho fatto bene
Grazie mille
Si verifichi che B è una base di C3.
Sia E={e1, e2, e3, e4} la base canonica di C4 e si consideri l'applicazione lineare f: C3 $ rarr $ C4 tale che:
f(v1)= 2e1+e2+e4
f(v2)= e2-e3
f(v3)= e1-2e3+e4
1) Si trovi la matrice B associata a f rispetto alla base canonica sul dominio e sul codominio.
2) Si calcoli il rango di f.
3) Il vettore $ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ appartiene all'immagine di f? Se sì, si trovi un vettore v $ in $ C3 tale che f(v) = $ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) $.
4) Si trovi una base dello spazio nullo e dell'immagine di f.
Ho risolto questo esercizio ma siccome non ho i risultati vorrei capire se ho fatto bene
Grazie mille
Risposte
Posta la tua risoluzione e i tuoi eventuali dubbi, e sistema anche la scrittura del messaggio, perchè così viene difficile capire bene il testo
Purtroppo il testo è come viene assegnato all'esame...
Per verificare che B è una base di C3 (C= complessi) ho scritto la matrice associata a B $ ( ( 1 , 2 , 0 ),( -1 , 1 , 0 ),( 0 , -1 , -1 ) ) $ e l'ho ridotta a gradini: $ ( ( 1 , 2 , 0 ),( 0 , -1 , -1 ),( 0 , 0 , -3 ) ) $ .
A questo punto il rango della matrice è 3 e i vettori sono pertanto linearmente indipendenti. Perciò B è una base di C3.
Poi ho calcolato le immagini f(v1)= $ ( ( 2 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ , f(v2)= $ ( ( 0 ),( 1 ),( -1 ),( 0 ) ) $ ed f(v3)= $ ( ( 1 ),( 0 ),( -2 ),( 1 ) ) $ utilizzando i dati dell'esercizio.
1) A questo punto la matrice associata di f è $ ( ( 2 , 0, 1),( 1 , 1 , 0 ),( 0 ,-1 ,-2 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $ , che ridotta a gradini diventa $ ( ( 1 ,1,0),( 0 , -1 , -2 ),( 0 , 0 , 5 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ .
2) Il rango di f è uguale a 3.
3)Per verificare che il vettore v= $ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ appartenga all'immagine di f ho imposto che Ax=v
Pertanto risolvo il sistema
$ { ( x1 + x2 = 2 ),( -x2 -2x3 = -1 ),( 5x3 = 0 ),( 0x3 = 1 ):} $ che non ha soluzioni, dunque v non appartiene all'immagine di f.
4) La base dell'immagine di f è data dalle colonne linearmente indipendenti di f. quindi B(Im)={(2,1,1,0); (0,1,-1,0); (1,0,-2,1)}
Per verificare che B è una base di C3 (C= complessi) ho scritto la matrice associata a B $ ( ( 1 , 2 , 0 ),( -1 , 1 , 0 ),( 0 , -1 , -1 ) ) $ e l'ho ridotta a gradini: $ ( ( 1 , 2 , 0 ),( 0 , -1 , -1 ),( 0 , 0 , -3 ) ) $ .
A questo punto il rango della matrice è 3 e i vettori sono pertanto linearmente indipendenti. Perciò B è una base di C3.
Poi ho calcolato le immagini f(v1)= $ ( ( 2 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ , f(v2)= $ ( ( 0 ),( 1 ),( -1 ),( 0 ) ) $ ed f(v3)= $ ( ( 1 ),( 0 ),( -2 ),( 1 ) ) $ utilizzando i dati dell'esercizio.
1) A questo punto la matrice associata di f è $ ( ( 2 , 0, 1),( 1 , 1 , 0 ),( 0 ,-1 ,-2 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $ , che ridotta a gradini diventa $ ( ( 1 ,1,0),( 0 , -1 , -2 ),( 0 , 0 , 5 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ .
2) Il rango di f è uguale a 3.
3)Per verificare che il vettore v= $ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ appartenga all'immagine di f ho imposto che Ax=v
Pertanto risolvo il sistema
$ { ( x1 + x2 = 2 ),( -x2 -2x3 = -1 ),( 5x3 = 0 ),( 0x3 = 1 ):} $ che non ha soluzioni, dunque v non appartiene all'immagine di f.
4) La base dell'immagine di f è data dalle colonne linearmente indipendenti di f. quindi B(Im)={(2,1,1,0); (0,1,-1,0); (1,0,-2,1)}
Nessuno sa dirmi se sbaglio e dove?
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