Esercizio applicazione lineare
Salve a tutti, potreste aiutarmi con questo esercizio?
Sia L: $ L:R^4->R^6 $ definita da $ L(x,y,z,t)=(x+z,x+z,x+z,y+t,y+t,y+t) $ calcolare $ L^-1(0,1,0,2,4,0) $ e $ L^-1(1,1,1,2,2,2) $ . Non so proprio da dove iniziare
sono nelle vostre mani
Sia L: $ L:R^4->R^6 $ definita da $ L(x,y,z,t)=(x+z,x+z,x+z,y+t,y+t,y+t) $ calcolare $ L^-1(0,1,0,2,4,0) $ e $ L^-1(1,1,1,2,2,2) $ . Non so proprio da dove iniziare
sono nelle vostre mani
Risposte
"Jade25":il procedimento è lo stesso per il calcolo del \(\ker(L)=L^{-1}(0_{\Bbb{R}^6})\).. pensaci
Salve a tutti, potreste aiutarmi con questo esercizio?
Sia L: $ L:R^4->R^6 $ definita da $ L(x,y,z)=(x+z,x+z,x+z,y+t,y+t,y+t) $ calcolare $ L^-1(0,1,0,2,4,0) $ e $ L^-1(1,1,1,2,2,2) $ . Non so proprio da dove iniziare
Ho calcolato il $ ker(L) $ e ottengo $ (x,y,-x,-y) $ ...ora come faccio a paragonarli se uno è in $ R^4 $ e l'altro è in $ R^6 $?
"Jade25":non hai capito, non devi calcolare il \(\ker(L)\) ma procedere nello stesso modo che hai fatto per calcolarlo, solo che in questo caso devi uguagliare il vettore immagine non al vettore nullo ma una volta al vettore \((0,1,0,2,4,0)\) e un'altra volta al vettore \((1,1,1,2,2,2)\). Se sai calcolare il \(\ker(L)\) allora ti dovrebbe venire tutto semplice, prova a iniziare il procedimento il resto viene da solo...
Ho calcolato il $ ker(L) $ e ottengo $ (x,y,-x,-y) $ ...ora come faccio a paragonarli se uno è in $ R^4 $ e l'altro è in $ R^6 $?
Ora ho capito tutto!! 
Grazie mille!!!
Grazie mille!!!
Qui parlerò in generale.
Sia \(\displaystyle f\colon V\to W \) una applicazione lineare di kernel \(\displaystyle \ker f = H \) e sia \(\displaystyle \mathbf{b} \in f(H) \).
Dati \(\displaystyle \mathbf{v}, \mathbf{w} \in f^{-1}(\mathbf{b}) \) si ha che \(\displaystyle f(\mathbf{v} - \mathbf{w}) = f(\mathbf{v}) - f(\mathbf{w}) = \mathbf{b} - \mathbf{b} = \mathbf{0} \). Perciò \(\displaystyle \mathbf{v} - \mathbf{w} \in H \) e \(\displaystyle f^{-1}(\mathbf{b})\subseteq \mathbf{v} + H \) (nota che \(\displaystyle \mathbf{v} + H \) non è un sottospazio di \(\displaystyle V \) ).
Viceversa se \(\displaystyle \mathbf{h} \in H \), \(\displaystyle \mathbf{v} \in f^{-1}(\mathbf{b}) \) e \(\displaystyle \mathbf{w} = \mathbf{v} + \mathbf{h} \) allora \(f(\mathbf{w}) = f(\mathbf{v} + \mathbf{h}) = f(\mathbf{v}) + f(\mathbf{h}) =\mathbf{b} + \mathbf{0} = \mathbf{b} \). Pertanto \(\displaystyle \mathbf{w} \in f^{-1}(\mathbf{b}) \) e \(\displaystyle f^{-1}(\mathbf{b})\supseteq \mathbf{v} + H \). Ma allora \(\mathbf{b}) = \mathbf{v} + H \).
Questo per dirti che trovare la controimmagine di un punto si riduce a trovare un singolo elemento della controimmagine e di “sommarci” il kernel della funzione.
Presta solo attenzione al fatto che non è un sottospazio ma il suo “traslato affine” (in realtà si tratta di un laterale nella terminologia della teoria dei gruppi, ma i due concetti sono strettamente legati negli spazi vettoriali).
Sia \(\displaystyle f\colon V\to W \) una applicazione lineare di kernel \(\displaystyle \ker f = H \) e sia \(\displaystyle \mathbf{b} \in f(H) \).
Dati \(\displaystyle \mathbf{v}, \mathbf{w} \in f^{-1}(\mathbf{b}) \) si ha che \(\displaystyle f(\mathbf{v} - \mathbf{w}) = f(\mathbf{v}) - f(\mathbf{w}) = \mathbf{b} - \mathbf{b} = \mathbf{0} \). Perciò \(\displaystyle \mathbf{v} - \mathbf{w} \in H \) e \(\displaystyle f^{-1}(\mathbf{b})\subseteq \mathbf{v} + H \) (nota che \(\displaystyle \mathbf{v} + H \) non è un sottospazio di \(\displaystyle V \) ).
Viceversa se \(\displaystyle \mathbf{h} \in H \), \(\displaystyle \mathbf{v} \in f^{-1}(\mathbf{b}) \) e \(\displaystyle \mathbf{w} = \mathbf{v} + \mathbf{h} \) allora \(f(\mathbf{w}) = f(\mathbf{v} + \mathbf{h}) = f(\mathbf{v}) + f(\mathbf{h}) =\mathbf{b} + \mathbf{0} = \mathbf{b} \). Pertanto \(\displaystyle \mathbf{w} \in f^{-1}(\mathbf{b}) \) e \(\displaystyle f^{-1}(\mathbf{b})\supseteq \mathbf{v} + H \). Ma allora \(\mathbf{b}) = \mathbf{v} + H \).
Questo per dirti che trovare la controimmagine di un punto si riduce a trovare un singolo elemento della controimmagine e di “sommarci” il kernel della funzione.
Presta solo attenzione al fatto che non è un sottospazio ma il suo “traslato affine” (in realtà si tratta di un laterale nella terminologia della teoria dei gruppi, ma i due concetti sono strettamente legati negli spazi vettoriali).
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