Esercizio applicazione lineare
Ciao ragazzi ho un dubbio su un esercizio ora vi espongo come l'ho risolto.
Trovare per quali valori di $k ∈ R$ risulta iniettiva l’applicazione lineare $f : R^2 → R^2$
tale che $f((1, −1)) = (k, −1) e f((0,1)) = (−2,3). $
Ho trovato la matrice e mi risulta che sia
$ ((k-2,-2),(3,3))$ con determinante $3k$
ponendo $k=0$ risolvo le equazioni
$\{(-2x-2y=0),(3x-3y=0):}$
e mi risultano $x=0$ e $y=0$ e quindi deduco che $Kerf$ è $0$ dim nullo. quindi dim imf dovrebbe essere 2 e infatti il rango è 2 quindi mi chiedo come faccia essere iniettivo avendo $kerf$ nullo e anche suriettivo avendo dim $imf$ $2$.
Grazie della pazienza
Trovare per quali valori di $k ∈ R$ risulta iniettiva l’applicazione lineare $f : R^2 → R^2$
tale che $f((1, −1)) = (k, −1) e f((0,1)) = (−2,3). $
Ho trovato la matrice e mi risulta che sia
$ ((k-2,-2),(3,3))$ con determinante $3k$
ponendo $k=0$ risolvo le equazioni
$\{(-2x-2y=0),(3x-3y=0):}$
e mi risultano $x=0$ e $y=0$ e quindi deduco che $Kerf$ è $0$ dim nullo. quindi dim imf dovrebbe essere 2 e infatti il rango è 2 quindi mi chiedo come faccia essere iniettivo avendo $kerf$ nullo e anche suriettivo avendo dim $imf$ $2$.
Grazie della pazienza
Risposte
Un applicazione lineare $ f:VrarrW $ è iniettiva se e solo se $ kerf={0_v} $ . Semplice da dimostrare
allora come ho svolto l'esercizio è giusto per $k=0$ ? perchè mi viene $kerf={0v}$ quindi è iniettiva. pero mi viene anche rango $2$
Ti viene che il nucleo contiene solo il vettore nullo, quindi è iniettiva. Inoltre, ha rango 2, quindi è anche suriettiva. Dunque è un endomorfismo biiettivo, dunque un automorfismo. Non c'è nulla di strano 
grazie mille, il mio dubbio era se poteva essere sia iniettiva che suriettiva. Risolto
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