Esercizio applicazione lineare

[francescoric92]

Salve ragazzi,come si risolve questo problema?
Si consideri l'operatore lineare f:R^3--->R^3
definito da f(x1,x2,x3)=(x2 , -x1+2x2, x3).
A)Si scriva la matrice A= C3[f]C3
B)Data la base B= { $((1),(1),(0))$ ,$((0),(1),(1))$, $((0),(0),(1))$ }
si scriva la matrice che rappresenta f rispetto alla base B nel dominio e nel codominio. C=B[f]B ????
cioè la matrice B che ha come basi di partenza e di arrivo quei 3 vettori,sia nel dominio che nel codominio.
Il punto A l'ho risolto facilmente,cioè mi trovo la matrice $((0,1,0),(-1,2,0),(0,0,1))$...
Come si risolve il secondo punto?Mi dite qualche altro metodo che non sia il cambiamento di base...
GRazieeee

[Plepp]

"francescoric92":Come si risolve il secondo punto?Mi dite qualche altro metodo che non sia il cambiamento di base...

Non hai scampo I contazzi rompiscatole devi farli.

Puoi calcolare la matrice $C$ di passaggio dalla base $\mathcal{B}$ alla base canonica $\mathcal{C}_3$. In tal caso, la matrice $B=T_\mathcal{B}(f)$ che cerchi, la ottieni così (indico con $A$ la matrice di $f$ rispetto a $\mathcal{C}_3$):
\[B=C^{-1}AC\]
Altrimenti, determini l'immagine di ciascuno degli elementi di $\mathcal{B}$ e di ciascuna immagine determini le componenti rispetto a $\mathcal{B}$; in altre parole, se $\mathcal{B}=\{v_1,v_2,v_3\}$, calcoli $f(v_1),f(v_2),f(v_3)$ e poi scrivi ciascuno degli $f(v_i)$ come combinazione lineare dei $v_i$: i coefficienti di tale combinazione lineare sono le colonne della matrice che cerchi.

[Plepp]

Alt, non avevo notato che i vettori di $\mathcal{B}$ sono particolarmente "semplici"...puoi fare così[nota]fondamentalmente è il secondo metodo che ti ho proposto, ma non ti toccherà risolvere sistemi o robe del genere[/nota]: se $\mathcal{B}=\{v_1,v_2,v_3\}$, indicando con $e_1,e_2,e_3$ i vettori della base canonica, hai
\[v_1=e_1+e_2\qquad v_2=e_2+e_3\qquad v_3=e_3\]
Di conseguenza
\[f(v_1)=f(e_1+e_2)=f(e_1)+f(e_2)=-e_2+(e_1+2e_2)= e_1+e_2=1\cdot v_1+0\cdot v_2+0\cdot v_3\\
f(v_2)=\cdots= (e_1+e_2)+(e_2+e_3)= 1\cdot v_1+1\cdot v_2+0\cdot v_3\\
f(v_3)=\text{vabbé...}
\]