Esercizio algebra lineare su vettori
Ciao ragazzi, vorrei chiedere delle delucidazioni su un esercizio d'esame di geo&alge. Premetto che credo di aver intuito come svolgerlo, cerco conferme.
Dunque:
Sia \(\displaystyle B = (v1, v2, v3) \) base di \(\displaystyle R^3 \), dove \(\displaystyle v1=(1,4,6) v2=(2,0,3) v3=(1,0,0) \)
e sia \(\displaystyle f:R^3 -> R^3 \) l'app lineare tale che
\(\displaystyle f(v1)=(1, 0, -1) f(v2)=(0, 1, 4) f(v3) = (3, -1, -7) \)
Determinare le matrici: Mε[size=85]B[/size](f) Mεε(f) M[size=85]BB[/size] essendo \(\displaystyle ε=(e1,e2,e3) \) e trovare l'eq esplicita f(x,y,z) dell'app data.
Dunque, secondo me il procedimento è il seguente.
1 - Scrivo le matrici di B e f(B)
2 - MεB è la matrice B moltiplicata per f(b)
3 - Mεε è la mat B*B
4 - M[size=85]BB[/size] è la mat \(\displaystyle f(b)*f(b) \)
5 - per trovare l'equazione prendo la matrice f(b) e la moltiplico per la colonna (x,y,z)
Sono in errore? Grazie in anticipo.
Dunque:
Sia \(\displaystyle B = (v1, v2, v3) \) base di \(\displaystyle R^3 \), dove \(\displaystyle v1=(1,4,6) v2=(2,0,3) v3=(1,0,0) \)
e sia \(\displaystyle f:R^3 -> R^3 \) l'app lineare tale che
\(\displaystyle f(v1)=(1, 0, -1) f(v2)=(0, 1, 4) f(v3) = (3, -1, -7) \)
Determinare le matrici: Mε[size=85]B[/size](f) Mεε(f) M[size=85]BB[/size] essendo \(\displaystyle ε=(e1,e2,e3) \) e trovare l'eq esplicita f(x,y,z) dell'app data.
Dunque, secondo me il procedimento è il seguente.
1 - Scrivo le matrici di B e f(B)
2 - MεB è la matrice B moltiplicata per f(b)
3 - Mεε è la mat B*B
4 - M[size=85]BB[/size] è la mat \(\displaystyle f(b)*f(b) \)
5 - per trovare l'equazione prendo la matrice f(b) e la moltiplico per la colonna (x,y,z)
Sono in errore? Grazie in anticipo.
Risposte
up pls
nessuno? ;(
Ciao 
Per quanto riguarda la matrice rappresentativa che parte dalla base B e arriva alla base canonica é molto semplice, avendo già le immagini dei vettori che costituiscono la base B. Quindi M=$((1,0,3) , (0,1,-1) , (-1,4,-7))$.
Per la matrice che invece parte dalla base B e arriva alla stessa base B ho pensato così: bisogna scrivere la combinazione lineare dei vettori che formano la base B e porla uguale alle immagini di F, in questo modo:
$\alpha$ (1,4,6) + $\beta$ (2, 0, 3) + $\gamma$ (1, 0, 0) = (1,0,-1) . scrivere la stessa combinazione lineare e porla uguale a (0,1,4)..e, ancora scrivere la stessa combinazione e porla uguale all'ultima immagine (3,-1,-7). Risolvendo il primo sistemino ottieni i valori di alfa beta e gamma che andranno a formare la prima colonna della tua matrice . risolvendo il secondo sistema ottieni i valori della seconda colonna della matrice e così anche per il terzo sistema.
Per la matrice che parte dalla base canonica e arriva alla base canonica devi ragionare sulla falsa riga della seconda matrice trovata. Hai idee? Altrimenti ti spiego qual è stato il mio ragionamento anche per quest'ultimo punto
Per quanto riguarda la matrice rappresentativa che parte dalla base B e arriva alla base canonica é molto semplice, avendo già le immagini dei vettori che costituiscono la base B. Quindi M=$((1,0,3) , (0,1,-1) , (-1,4,-7))$.
Per la matrice che invece parte dalla base B e arriva alla stessa base B ho pensato così: bisogna scrivere la combinazione lineare dei vettori che formano la base B e porla uguale alle immagini di F, in questo modo:
$\alpha$ (1,4,6) + $\beta$ (2, 0, 3) + $\gamma$ (1, 0, 0) = (1,0,-1) . scrivere la stessa combinazione lineare e porla uguale a (0,1,4)..e, ancora scrivere la stessa combinazione e porla uguale all'ultima immagine (3,-1,-7). Risolvendo il primo sistemino ottieni i valori di alfa beta e gamma che andranno a formare la prima colonna della tua matrice . risolvendo il secondo sistema ottieni i valori della seconda colonna della matrice e così anche per il terzo sistema.
Per la matrice che parte dalla base canonica e arriva alla base canonica devi ragionare sulla falsa riga della seconda matrice trovata. Hai idee? Altrimenti ti spiego qual è stato il mio ragionamento anche per quest'ultimo punto
Ciao, innanzitutto grazie per la risposta
Dunque, ragionando come per il secondo esercizio credo che si risolva in questa maniera:
α (1,4,6) + β (2, 0, 3) + γ (1, 0, 0) = (1,4,6)
α (1,4,6) + β (2, 0, 3) + γ (1, 0, 0) = (2, 0, 3)
α (1,4,6) + β (2, 0, 3) + γ (1, 0, 0) = (1, 0, 0)
3 sistemi e le soluzioni di ognuno costituiscono le colonne della matrice
Dunque, ragionando come per il secondo esercizio credo che si risolva in questa maniera:
α (1,4,6) + β (2, 0, 3) + γ (1, 0, 0) = (1,4,6)
α (1,4,6) + β (2, 0, 3) + γ (1, 0, 0) = (2, 0, 3)
α (1,4,6) + β (2, 0, 3) + γ (1, 0, 0) = (1, 0, 0)
3 sistemi e le soluzioni di ognuno costituiscono le colonne della matrice
Attenzione :in questo modo non stai tenendo conto delle basi canoniche. È giusto fare la combinazione lineare che hai scritto, però devi porla uguale ai vettori della base canonica. Ad esempio $/alpha$ (1,4,6)+ $/beta$ (2,0,3) + $\gamma$ (1,0,0) = (1,0,0) ora qui ad occhio, senza nemmeno svolgere il sistema, si vede che alfa=0 beta=0 e gamma=1. Negli altri due sistemi è un po' meno evidente e quindi ti tocca fare quei pochi calcoli. Ora però non è finita, non puoi scrivere come prima questi valori come colonne della tua matrice. Infatti in questo caso devi tenere in considerazione anche le immagini della tua applicazione, quelle che ti da il testo dell'esercizio.
Dunque abbiamo detto che dal primo sistema esce che alfa=0, beta=0 e gamma=1 quindi questo vuol dire che devi prendere zero volte la prima immagine (1,0,-1), zero volte la seconda immagine e una sola volta la terza immagine. Quindi la prima colonna della matrice e è costituita dalla terza immagine (3,-1,-7).
Dal secondo sistema esce :
$/alpha$= $1/4 $/beta$= $-1/2 e $/gamma$= - 3/4. Questo vuol dire che f(010)= 1/4 (1,0,-1) - 1/2(0,1,4)-3/4 (3,-1,-7) che, facendo i calcoli, risulta essere uguale a (-2, 1/4, 3). Ecco, questa sarà la seconda colonna della matrice. Fai lo stesso per il terzo sistema e ti esce la terza colonna.
Se vuoi puoi scrivermi alla fine la matrice che ti esce fuori, così ci confrontiamo. Domani ho l'esame di Geometria su questi argomenti. Confrontarsi non fa mai male
Dunque abbiamo detto che dal primo sistema esce che alfa=0, beta=0 e gamma=1 quindi questo vuol dire che devi prendere zero volte la prima immagine (1,0,-1), zero volte la seconda immagine e una sola volta la terza immagine. Quindi la prima colonna della matrice e è costituita dalla terza immagine (3,-1,-7).
Dal secondo sistema esce :
$/alpha$= $1/4 $/beta$= $-1/2 e $/gamma$= - 3/4. Questo vuol dire che f(010)= 1/4 (1,0,-1) - 1/2(0,1,4)-3/4 (3,-1,-7) che, facendo i calcoli, risulta essere uguale a (-2, 1/4, 3). Ecco, questa sarà la seconda colonna della matrice. Fai lo stesso per il terzo sistema e ti esce la terza colonna.
Se vuoi puoi scrivermi alla fine la matrice che ti esce fuori, così ci confrontiamo. Domani ho l'esame di Geometria su questi argomenti. Confrontarsi non fa mai male
Grazie mille sei stata molto d'aiuto
Spero ti sia andato bene l'esame, io ce l'ho domani!
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