Esercizio Algebra Lineare su particolari autospazi
Salve a tutti, questa è la prima volta che scrivo su questo forum e ringrazio chi legge per l'attenzione.
Ho un problema con un esercizio di algebra lineare, argomento "Diagonalizzazione", che non riesco a risolvere.
Il testo dell'esercizio è il seguente.
Sia \(E\) un \(\mathbb{K}\)-spazio vettoriale, dove [tex]\mathbb{K}[/tex] è un campo di caratteristica [tex]\neq2[/tex].
Sia [tex]f:E\rightarrow E[/tex] un endomorfismo tale che [tex]f\circ f=Id_E[/tex].
Si pone:
[tex]E_+=[/tex]$\{$[tex]x\in E : f(x)=x[/tex]$\}$
[tex]E_-=[/tex]$\{$[tex]x\in E : f(x)=-x[/tex]$\}$
1) Mostrare che [tex]E_+[/tex] ed [tex]E_-[/tex] sono due sottospazi supplementari di [tex]E[/tex].
2) Mostrare che [tex]f[/tex] è diagonalizzabile.
Provo a riportare i miei ragionamenti: incompleto del punto 1 e, credo, completo per il punto 2.
Il punto 2, infatti, una volta mostrato il primo, sembra ovvio: formo una base [tex]B[/tex] di [tex]E[/tex] dall'unione delle basi di [tex]E_+[/tex] ed [tex]E_-[/tex] ed ho che [tex]mat(f;B,B)[/tex] è diagonale, con elementi [tex]1[/tex] sulla diagonale pari al numero [tex]dim(E_+)[/tex] ed i restanti elementi della diagonale uguali a [tex]-1[/tex], comunque in numero pari a [tex]dim(E_-)[/tex].
Ho cercato di dimostrare il punto 1 in questo modo.
Voglio provare che la somma [tex]E_+ + E_-[/tex] è diretta e poi che quella somma coincide con [tex]E[/tex].
Il primo obiettivo credo sia semplice:
Sia [tex]x[/tex] tale che [tex]x\in E_+[/tex] e [tex]x\in E_-[/tex]. Allora [tex]f(x)=x[/tex] e [tex]f(x)=-x[/tex], quindi [tex]x=-x[/tex] e, visto che la caratteristica di [tex]\mathbb{K}[/tex] è diversa da [tex]2[/tex], [tex]x=0[/tex] .
Ora, sfruttando evidentemente l'ipotesi [tex]f\circ f=Id_E[/tex] la quale finora non è stata utilizzata, dovrei riuscire a provare che [tex]E=E_+ + E_-[/tex].
L'inclusione [tex]\supseteq[/tex] è banale, quindi rimane da provare "solo" l'inclusione [tex]\subseteq[/tex].
Ma qui il mio problema diventa serio, perchè tutti i tentativi che ho fatto mi portano a ragionare circolarmente, senza ottenere nulla.
Qualcuno di voi può aiutarmi?
Non è un esercizio che, per il momento, sento che sia fondamentale, ma il non riuscire a risolverlo mi sta prosciugando tutti i momenti di relax.
Ho un problema con un esercizio di algebra lineare, argomento "Diagonalizzazione", che non riesco a risolvere.
Il testo dell'esercizio è il seguente.
Sia \(E\) un \(\mathbb{K}\)-spazio vettoriale, dove [tex]\mathbb{K}[/tex] è un campo di caratteristica [tex]\neq2[/tex].
Sia [tex]f:E\rightarrow E[/tex] un endomorfismo tale che [tex]f\circ f=Id_E[/tex].
Si pone:
[tex]E_+=[/tex]$\{$[tex]x\in E : f(x)=x[/tex]$\}$
[tex]E_-=[/tex]$\{$[tex]x\in E : f(x)=-x[/tex]$\}$
1) Mostrare che [tex]E_+[/tex] ed [tex]E_-[/tex] sono due sottospazi supplementari di [tex]E[/tex].
2) Mostrare che [tex]f[/tex] è diagonalizzabile.
Provo a riportare i miei ragionamenti: incompleto del punto 1 e, credo, completo per il punto 2.
Il punto 2, infatti, una volta mostrato il primo, sembra ovvio: formo una base [tex]B[/tex] di [tex]E[/tex] dall'unione delle basi di [tex]E_+[/tex] ed [tex]E_-[/tex] ed ho che [tex]mat(f;B,B)[/tex] è diagonale, con elementi [tex]1[/tex] sulla diagonale pari al numero [tex]dim(E_+)[/tex] ed i restanti elementi della diagonale uguali a [tex]-1[/tex], comunque in numero pari a [tex]dim(E_-)[/tex].
Ho cercato di dimostrare il punto 1 in questo modo.
Voglio provare che la somma [tex]E_+ + E_-[/tex] è diretta e poi che quella somma coincide con [tex]E[/tex].
Il primo obiettivo credo sia semplice:
Sia [tex]x[/tex] tale che [tex]x\in E_+[/tex] e [tex]x\in E_-[/tex]. Allora [tex]f(x)=x[/tex] e [tex]f(x)=-x[/tex], quindi [tex]x=-x[/tex] e, visto che la caratteristica di [tex]\mathbb{K}[/tex] è diversa da [tex]2[/tex], [tex]x=0[/tex] .
Ora, sfruttando evidentemente l'ipotesi [tex]f\circ f=Id_E[/tex] la quale finora non è stata utilizzata, dovrei riuscire a provare che [tex]E=E_+ + E_-[/tex].
L'inclusione [tex]\supseteq[/tex] è banale, quindi rimane da provare "solo" l'inclusione [tex]\subseteq[/tex].
Ma qui il mio problema diventa serio, perchè tutti i tentativi che ho fatto mi portano a ragionare circolarmente, senza ottenere nulla.
Qualcuno di voi può aiutarmi?
Non è un esercizio che, per il momento, sento che sia fondamentale, ma il non riuscire a risolverlo mi sta prosciugando tutti i momenti di relax.
Risposte
Ciao,
per il punto $1$ se $v \in E$ allora $v = \frac{v - f(v)}{2} + \frac{v + f(v)}{2}$, adesso quanto fanno $f(\frac{v - f(v)}{2})$ e $f(\frac{v + f(v)}{2})$?
Il ragionamento per il punto $2$ è corretto, inconsapevolmente hai usato, e in parte dimostrato, il seguente risultato: Siano $V$ un $\mathbb{K}-$spazio, $f \in End(V), Sp(f) = {\lambda_1, ..., \lambda_k}$ allora $f$ è diagonalizzabile se e solo se $V = V_{\lambda_1} \oplus ... \oplus V_{\lambda_k}$, dove $V_{\lambda_1}, ..., V_{\lambda_k}$ sono gli autospazi relativi agli autovalori $\lambda_1, ..., \lambda_k$.
Ciao
per il punto $1$ se $v \in E$ allora $v = \frac{v - f(v)}{2} + \frac{v + f(v)}{2}$, adesso quanto fanno $f(\frac{v - f(v)}{2})$ e $f(\frac{v + f(v)}{2})$?
Il ragionamento per il punto $2$ è corretto, inconsapevolmente hai usato, e in parte dimostrato, il seguente risultato: Siano $V$ un $\mathbb{K}-$spazio, $f \in End(V), Sp(f) = {\lambda_1, ..., \lambda_k}$ allora $f$ è diagonalizzabile se e solo se $V = V_{\lambda_1} \oplus ... \oplus V_{\lambda_k}$, dove $V_{\lambda_1}, ..., V_{\lambda_k}$ sono gli autospazi relativi agli autovalori $\lambda_1, ..., \lambda_k$.
Ciao
Wow, grazie Shocker. 
Non mi era proprio venuto in mente di usare [tex]f(v)[/tex] nella costruzione dei due componenti di [tex]v[/tex]. Mi manca proprio la flessibilità nel ragionamento...
Il ragionamento sul punto 2, l'avevo sviluppato, in un certo senso, per intuizione geometrica: se [tex]E[/tex] è costituito interamente di sottospazi stabili per [tex]f[/tex], allora [tex]f[/tex] è necessariamente un'omotetia e pertanto è diagonalizzabile.
Ciò che hai aggiunto tu, sul punto 2, mi sono ricordato (dopo averlo letto) che fosse proprio l'argomentazione principale per la dimostrazione del teorema che lega diagonalizzabilità a dimensione di autospazi e molteplicità delle radici.
Di nuovo, grazie mille.
EDIT: No, ma quale omotetia? Stavo pensando "dilatazione" e mi è scappato "omotetia". Le omotetie sarebbero due ed ottenute da $f$ ristretta ai ciascuno dei due sottospazi.
Non mi era proprio venuto in mente di usare [tex]f(v)[/tex] nella costruzione dei due componenti di [tex]v[/tex]. Mi manca proprio la flessibilità nel ragionamento...
Il ragionamento sul punto 2, l'avevo sviluppato, in un certo senso, per intuizione geometrica: se [tex]E[/tex] è costituito interamente di sottospazi stabili per [tex]f[/tex], allora [tex]f[/tex] è necessariamente un'omotetia e pertanto è diagonalizzabile.
Ciò che hai aggiunto tu, sul punto 2, mi sono ricordato (dopo averlo letto) che fosse proprio l'argomentazione principale per la dimostrazione del teorema che lega diagonalizzabilità a dimensione di autospazi e molteplicità delle radici.
Di nuovo, grazie mille.
EDIT: No, ma quale omotetia? Stavo pensando "dilatazione" e mi è scappato "omotetia". Le omotetie sarebbero due ed ottenute da $f$ ristretta ai ciascuno dei due sottospazi.
Di nulla
Ricordati sempre quel trucchetto, ogni tanto torna utile, ad esempio per dimostrare che $M(n, \mathbb{K}) = S(n, \mathbb{K}) \oplus A(n, \mathbb{K})$ dove $M(n, \mathbb{K})$ è lo spazio delle matrici $nxn$ a coefficienti in $\mathbb{K}$, $S(n, \mathbb{K})$ è il sottospazio delle matrici simmetriche $nxn$, $A(n, \mathbb{K})$ è il sottospazio delle matrici antisimmetriche $nxn$ e $\mathbb{K}$ è un campo con caratteristica diversa da $2$. Questo fatto teoricamente è una conseguenza dell'esercizio che hai risolto, perché gli addendi sono autospazi relativi a $1$ e $-1$ per l'applicazione trasposta. Di solito questo risultato viene presentato all'inizio di un corso di geometria e la dimostrazione è una copia del punto $1$ senza però menzionare autovalori etc.
Ciao!
"geo_alg_lin":
Wow, grazie Shocker.
Non mi era proprio venuto in mente di usare [tex]f(v)[/tex] nella costruzione dei due componenti di [tex]v[/tex]. Mi manca proprio la flessibilità nel ragionamento...
Ricordati sempre quel trucchetto, ogni tanto torna utile, ad esempio per dimostrare che $M(n, \mathbb{K}) = S(n, \mathbb{K}) \oplus A(n, \mathbb{K})$ dove $M(n, \mathbb{K})$ è lo spazio delle matrici $nxn$ a coefficienti in $\mathbb{K}$, $S(n, \mathbb{K})$ è il sottospazio delle matrici simmetriche $nxn$, $A(n, \mathbb{K})$ è il sottospazio delle matrici antisimmetriche $nxn$ e $\mathbb{K}$ è un campo con caratteristica diversa da $2$. Questo fatto teoricamente è una conseguenza dell'esercizio che hai risolto, perché gli addendi sono autospazi relativi a $1$ e $-1$ per l'applicazione trasposta. Di solito questo risultato viene presentato all'inizio di un corso di geometria e la dimostrazione è una copia del punto $1$ senza però menzionare autovalori etc.
Ciao!
Vero! Bel collegamento, grazie tante.
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